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4.3　探索三角形全等的条件
第2课时　利用“角边角(ASA)”与“角角边(AAS)”判定三角形全等
一、选择题
1．如图，AD和BC相交于点O，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加( )
A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．OB＝OD D．∠AOB＝∠COD
2．如图，已知△ABC三条边，三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的是( )
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
3．如图，已知∠1＝∠2，DA平分∠BDC，下列结论错误的是( )
A．AB＝AC B. DB＝DC C．AB＝BD D．∠B＝∠C
4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，已知AD＝AE，要用“AAS”判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．AC＝AB D．CD＝BE
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD相交于点F，AD＝BD＝5，则AF＋CD的长为( )
A．10 B．6 C．5 D．4.5
7．如图，在中，于点 ，于点，，交于点 ，若，，则 的长为( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
8．如图，在锐角三角形 中， ，，为三角形 的角平分线，，交于点，平分交于点 .有下列四个结论：
； ；； .其中结论正确的序号为( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题
9．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，请添加一个条件：____________________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
10．如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为_____________．
11．如图，点，，，在同一条直线上， ，，.若 ， ，则的度数为_____.
12．如图，在四边形中，,，，则的面积为___ .
13．如图，在 中， ,,, 为边上的高，点从点出发，在直线 上以的速度运动，过点作 的垂线交直线于点,当点运动______ 时， .
三、解答题
14．如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.试说明：AC＝DC.
15．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)试说明：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝____°.
16．如图，已知点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且AC∥DF，AC＝DF；
(1)请你添加一个适当的条件：__________________，使得△ABC≌△DEF.结合所添加的条件说明△ABC≌△DEF；
(2)若BE＝20，BF＝6，求FC的长．
17．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线．
(1)试说明：AD＝A′D′；
(2)把上述结论用文字叙述出来：______________________________________；
(3)请你再写出一条其他类似的结论：___________________________________．
18．如图，，是上一点， .
(1)如图①，若，，试说明：
① ；
② .
(2)如图②，请直接写出当与 之间满足什么数量关系时，总有 成立.
19．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.
(1)如图①，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.试说明：MN＝AM＋BN；
(2)如图②，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
20．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角尺(在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC；在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°)，并提出了相应的问题．
【发现】(1)如图①，将两个三角尺互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为M，过点C作CN⊥DF，垂足为N，易证△ABM≌△BCN，若AM＝2，CN＝7，则MN＝___________；
【类比】(2)如图②，将两个三角尺叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为P，猜想线段AE，PE，CP之间的数量关系，并说明理由；
【拓展】(3)如图③，将两个三角尺叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝1，连接CE，则△BCE的面积为___________．
21．如图，在中， ，，为直线上一动点，连接.在直线的右侧作 ，且，过点作的垂线，垂足为 .
(1)如图①，当点在线段上时,判断线段与 之间的关系，并说明理由.
(2)连接图①中的，交直线于点 ，我们很容易发现.如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段 之间的关系有没有变化？此时吗？说明理由.
(3)如图③，当点在线段的延长线上时，连接交于点，当，时，请直接写出和的面积.
参考答案
一、选择题
1．如图，AD和BC相交于点O，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加( )
A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．OB＝OD D．∠AOB＝∠COD
【答案】B
2．如图，已知△ABC三条边，三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的是( )
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】C
3．如图，已知∠1＝∠2，DA平分∠BDC，下列结论错误的是( )
A．AB＝AC B. DB＝DC C．AB＝BD D．∠B＝∠C
【答案】C
4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
5．如图，已知AD＝AE，要用“AAS”判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．AC＝AB D．CD＝BE
【答案】A
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD相交于点F，AD＝BD＝5，则AF＋CD的长为( )
A．10 B．6 C．5 D．4.5
【答案】C
7．如图，在中，于点 ，于点，，交于点 ，若，，则 的长为( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】因为 ,所以 .所以.所以 .因为,所以 .又因为,所以 .又因为,所以 .所以.所以 .
8．如图，在锐角三角形 中， ，，为三角形 的角平分线，，交于点，平分交于点 .有下列四个结论：
； ；； .其中结论正确的序号为( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
【答案】B
【解析】因为,为三角形 的角平分线，所以， .
所以.所以,故①正确.所以 .因为平分,所以 .在和中，所以.所以 , ,故②正确. 同理可得,所以 .所以.在和 中， ,但与 不一定相等.所以和 不一定全等，故③错误.由可得 ,所以 ,故④正确.故选B.
二、填空题
9．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，请添加一个条件：____________________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
【答案】AB＝DC(答案不唯一)
10．如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为_____________．
【答案】32
11．如图，点，，，在同一条直线上， ，，.若 ， ，则的度数为_____.
【答案】110°
【解析】因为，所以.在
和中， 所以 ，所以 ，所以易得 .
12．如图，在四边形中，,，，则的面积为___ .
【答案】8
【解析】如图，过点作，交 的延长线于点，则 .因为，所以 .因为,所以，所以.在 和 中，所以 ，所以 ，所以 .
13．如图，在 中， ,,, 为边上的高，点从点出发，在直线 上以的速度运动，过点作 的垂线交直线于点,当点运动______ 时， .
【答案】2或5
【解析】因为 ,所以 .因为为边上的高，所以,所以 ,所以 .因为,所以 .因为，所以 .在和中，所以 ,所以当点在射线 上移动时， .因为点从点出发，在直线上以 的速度运动，所以点运动了当点在射线 上运动时，.因为点 从点出发，在直线上以 的速度运动，所以点运动了.综上所述，当点运动 或时， .
三、解答题
14．如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.试说明：AC＝DC.
解：在△ABC和△DEC中，所以△ABC≌△DEC(ASA)，所以AC＝DC
15．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)试说明：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝____°.
解：(1)在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD(AAS)　
(2)∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，∴∠DBA＝90°－70°＝20°，由(1)知△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA＝20°，故答案为：20
16．如图，已知点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且AC∥DF，AC＝DF；
(1)请你添加一个适当的条件：__________________，使得△ABC≌△DEF.结合所添加的条件说明△ABC≌△DEF；
(2)若BE＝20，BF＝6，求FC的长．
解：(1)∠ABC＝∠DEF(答案不唯一)
因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(AAS)　
(2)因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF.所以BC－CF＝EF－CF，即BF＝CE＝6.因为BE＝20，所以FC＝BE－BF－CE＝20－6－6＝8
17．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线．
(1)试说明：AD＝A′D′；
(2)把上述结论用文字叙述出来：______________________________________；
(3)请你再写出一条其他类似的结论：___________________________________．
解：(1)因为△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，又因为AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，所以∠BAD＝∠B′A′D′，在△ABD和△A′B′D′中，所以△ABD≌△A′B′D′(ASA)，所以AD＝A′D′
(2)全等三角形的对应角的平分线相等
(3)答案不唯一，如：全等三角形的对应边上的高(或中线)相等
18．如图，，是上一点， .
(1)如图①，若，，试说明：
① ；
解：因为，所以，，所以 .
② .
在上截取，连接 ，如图①，
因为 ，所以
，
所以 .
因为，所以 ，
即.由①知 .
在和中，
所以，所以 .
(2)如图②，请直接写出当与 之间满足什么数量关系时，总有 成立.
当时，总有 成立.
【解析】如图②，在 上截取，连接，因为 ，所以.易得 ，.又因为 ，所以.易知 ，所以.当 时，，所以此时 ，所以 .
19．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.
(1)如图①，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.试说明：MN＝AM＋BN；
(2)如图②，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
解：(1)因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°，所以∠MAC＋∠ACM＝90°，因为∠ACB＝90°，所以∠NCB＋∠ACM＝90°.所以∠MAC＝ ∠NCB.在△AMC和△CNB 中，所以△AMC≌△CNB(AAS).所以AM＝CN，MC＝BN.因为MN＝CN＋MC，所以MN＝AM＋BN
(2)不成立，理由如下：因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°，所以∠MAC＋∠ACM＝90°，因为∠ACB＝90°，所以∠NCB＋∠ACM＝90°，所以∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中，所以△AMC≌△CNB(AAS)，所以AM＝CN，MC＝BN.因为MN＝MC－CN，所以MN＝BN－AM.所以(1)中的结论不成立
20．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角尺(在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC；在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°)，并提出了相应的问题．
【发现】(1)如图①，将两个三角尺互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为M，过点C作CN⊥DF，垂足为N，易证△ABM≌△BCN，若AM＝2，CN＝7，则MN＝___________；
【答案】9
【类比】(2)如图②，将两个三角尺叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为P，猜想线段AE，PE，CP之间的数量关系，并说明理由；
【拓展】(3)如图③，将两个三角尺叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝1，连接CE，则△BCE的面积为___________．
解：(2)PE＝CP－AE.理由如下：
因为∠ABC＝90°，所以∠ABE＋∠CBE＝90°.
因为CP⊥BE，所以∠CPB＝90°.
所以∠BCP＋∠CBP＝90°.所以∠ABE＝∠BCP.
因为∠AEB＝90°，所以∠AEB＝∠CPB＝90°.
在△ABE和△BCP中，
因为∠AEB＝∠CPB，∠ABE＝∠BCP，AB＝BC，
所以△ABE≌△BCP(AAS)．
所以AE＝BP，BE＝CP.
因为BE＝BP＋PE，
所以PE＝BE－BP＝CP－AE.
所以PE＝CP－AE.
(3)
21．如图，在中， ，，为直线上一动点，连接.在直线的右侧作 ，且，过点作的垂线，垂足为 .
(1)如图①，当点在线段上时,判断线段与 之间的关系，并说明理由.
解：， .理由如下：
根据题意可知， ，
所以 ，
因为 ,
所以.所以 .
因为，所以 .
易知 ，
所以 .
又因为， ，
所以，所以 .
因为，所以 .
(2)连接图①中的，交直线于点 ，我们很容易发现.如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段 之间的关系有没有变化？此时吗？说明理由.
线段与之间的关系不变， .理由如下：
易知 ，
，所以
.
同(1)可得，，，所以 .
因为，所以 .
又因为， ，
所以，所以 .
(3)如图③，当点在线段的延长线上时，连接交于点，当，时，请直接写出和的面积.
,.
【解析】当点在线段 的延长线
上时，同理可得， ，
，
所以， ，
所以 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
又因为，所以 .
，
所以 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)

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