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北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高二数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
2.函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A. B. C. D.
3.一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位： m/s）为（ ）
A. B. C. D.
4.用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（）
A. B. C. D.
5.已知，则等于（ ）
A. B. C. D. 或
6.在的展开式中，含x的项的系数为（ ）
A. B. 40 C. D. 80
7.若随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（ ）
A. 是的极小值点
B. 在区间上单调递增
C. 是在区间上的最小值
D. 曲线在点处的切线斜率大于零
9.已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
10.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则 ．
X 0 1
P 2m m
12.某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为 ．
13.已知函数在区间上不单调，则的一个取值为 ．
14.已知，则 ； ．
15.已知函数. 给出下列四个结论：
①，无零点；
②若在处取得极小值，则；
③当时，，，使得；
④当时，，集合恰有3个元素.
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛．
(1)如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？
(2)如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？
17.(本小题12分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值.
18.(本小题12分)
李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试.
(1)记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望；
(2)求李华能通过考试的概率.
19.(本小题12分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25；
乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23；
丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若，求的极大值；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
21.(本小题15分)
对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列.
(1)若，直接写出，；
(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由；
(3)若数列满足，求数列的个数．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】 /
13.【答案】 /答案不唯一
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】①③④
16.【答案】解：（1）选1名男生，有种选法，
选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法．
所以符合条件的不同选法有（种）．
（2）方法一（直接法）：符合条件的选法有两类：
第1类，2名男生，2名女生的选法有种；
第2类，3名男生，1名女生的选法有种；
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
方法二（排除法）：
因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种，
其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况，
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
故共有51种不同的选法．

17.【答案】解：（1）因为，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令，则或.
当在区间上变化时，，的变化情况如表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以当时，在区间上取得最大值，最大值为.

18.【答案】解：（1）由已知可得的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为.
（2）因为至少答对其中2道才能通过考试，
所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况，
这两种情况是互斥的，
由（1）知，，，
所以.
所以李华能通过考试的概率为.

19.【答案】解：（1）甲以往的10次成绩中有6次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为；
由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为；
（3）由于铅球比赛成绩最远者胜，且甲、丙取得优秀奖的概率相同，均大于乙，但甲的最好成绩高于丙，故甲获得冠军的概率最大.

20.【答案】解：（1）函数的定义域为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，且，
所以，所以；
经检验，符合题意；
（2）当时，，
此时，函数的定义域为，，
令，则，
当在区间上变化时，、的变化情况如表所示：
单调递增 单调递减
所以，当时，有极大值，并且极大值为；
（3）若恒成立，即恒成立，
设，
只要即可；
，
①当时，令，得，
，，变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以，故满足题意；
②当时，令，得舍，或；
，，变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘
所以，得；
③当时，存在，满足，
所以不能恒成立，所以不满足题意；
综上，实数的取值范围为.

21.【答案】解：（1），；
（2）因为，
由数列为数列，所以，
对于数列中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有且个，则有个1，
则.
因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同，
所以不存在符合题意的数列.
（3）首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
因为，
所以，
故，
其次，由数列为数列可知，，
解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，
所以数列的个数为个.

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