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2025-2026学年江苏省南京市七校联考高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若向量，则点B坐标为（　　）
A. （1，1） B. （-1，1） C. （2，1） D. （1，2）
2.sin10°cos50°+sin80°sin50°=（　　）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，c=2，A=60°，则角C等于（　　）
A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120°
5.已知，则=（　　）
A. B. C. D.
6.在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a=k-2，b=k+1，c=k+4，则实数k的取值范围为（　　）
A. （2，11） B. （3，11） C. [2，10） D. （5，11）
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，则△ABC一定为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
8.已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（　　）
A. [12，16] B. [2，6] C. [-16，-12] D. [-6，-2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列等式计算正确的是（　　）
A. B.
C. （1+tan18°）（1+tan27°）=2 D.
10.已知平面向量，则下列说法正确的是（　　）
A. 当时，x=-10
B. 若和的夹角为锐角，则
C. 当x=-3时，在方向上的投影向量为
D. 若，则和的夹角为45°
11.在△ABC中，角A，B，C满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. △ABC的周长为
C. AC边上的中线BD的长为
D. 设E为△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量所成的角为120°，且，则= .
13.已知B地在A地的北偏东75°方向上，且相距10千米，C地在B地的北偏东15°方向上，且相距20千米，则A，C两地（视为质点）之间的距离是 千米.
14.已知sinα=sin（α+β），其中α，β∈R且β≠2kπ，k∈Z，则4sin2α-cos2β的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在菱形ABCD中，.
（1）若，求xy的值；
（2）若AB=3，∠BAD=60°，求的值.
16.(本小题15分)
已知，，且，
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求的值；
（3）求角2α+β的大小.
17.(本小题15分)
在△ABC中，，E，F是分别是线段AB，AC的中点，BF和CE交于点O.
（1）求的值；
（2）求cos∠BOC的值；
（3）点P是线段AC上的动点（含端点），求的取值范围.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.且满足b=2a-2ccosB.
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积，内切圆的半径为，求c；
（3）若∠ACB的平分线交AB于D，且CD=4，求△ABC的面积S的最小值.
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2.
（1）希腊数学家克罗狄斯 托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料.
①若AB⊥BC，BD=2，求2AD+CD的最小值；
②若△ACD为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求∠ABD.
（2）当△ACD为正三角形时，求△ABD面积的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】CD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】[-1，3）
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】8
18.【答案】 c=4
19.【答案】①；②60°
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