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2025-2026学年陕西省西安市阎良区西飞第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列几何体中，棱数最多的是（　　）
A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥
2.（2+i）（3-2i）=（　　）
A. 4-i B. 8-i C. 4+i D. 8+i
3.已知向量，若，则m的值为（　　）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若C=45°，，c=2，则B=（　　）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
5.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为（　　）
A. B. 2 C. D.
6.已知α，β为两个不同的平面，m,n,l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（　　）
A. 若α∥β，且m α，则m∥β B. 若α∩β=l,且m∥l,则m∥α
C. 若m∥α，n∥α，则m∥n D. 若l∥m,l∥n,且m,n α，则l∥α
7.如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,其中a为常数，若b=2ccosA，且，则△ABC的面积取最大值时，∠A=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1+2i,z2=2-i,则（　　）
A. z1的共轭复数为-1+2i B. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数 D. z1 z2在复平面内对应的点在第一象限
10.已知，，为非零向量，下列说法正确的是（　　）
A. 向量在向量上的投影向量可表示为
B. 若∥，∥，则∥
C. 若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线
D. 若 = ，则=
11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M，N分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（　　）
A. 直线AD∥平面MNE
B. 直线FC1∥平面MNE
C. 平面A1BC∥平面MNE
D. 平面AB1D1∥平面MNE
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足1≤|z|≤2，则z在复平面内对应的点形成区域的面积为 .
13.将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为 .
14.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD，若，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知z是复数，z-3i为实数，为纯虚数（i为虚数单位）.
（1）求复数z；
（2）求的模.
16.(本小题15分)
已知平面向量满足，其中m∈R.
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求向量与的夹角的大小.
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1上的点，且A1F=2FA，BE=2AE.
（1）证明：E，C，D1，F四点共面；
（2）设D1F∩CE=O，证明：A，O，D三点共线.
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.
（1）证明：AD∥平面C1EF；
（2）若2AA1=3AB=3，求三棱锥A-C1DE的体积.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,记△ABC的面积为S，且.
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，BD，BE分别为△ABC的中线和角平分线.
（i）若△ABC的面积为，求BD的长；
（ii）求BE长的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】AB
11.【答案】ABC
12.【答案】3π
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】解：（1）设复数z=a+bi（a,b∈R），
因为z-3i=a+（b-3）i为实数，所以b=3，则复数z=a+3i（a∈R），
又因为为纯虚数，
则，得a=1，
所以复数z=1+3i.
（2）由（1）可知复数z=1+3i,则，
所以的模为．
16.【答案】解：（1）因为，
若，则m-1=-2×（-4）=8，
所以m=9；
（2）若，，
则=-4（m-1）-2=0，
所以m=，=（3，-5），
设向量与的夹角为α，
则（） =-17，|2-|==，||==，
故cosα==-，
由0≤α≤π，
故．
17.【答案】证明：（1）连接A1B、D1C、EF，
E，F分别是AB，AA1上的点，且A1F=2FA，BE=2AE，则有EF∥A1B，
又由AD∥A1D1，则四边形A1BCD1是平行四边形，则有D1C∥A1B，
故有EF∥D1C，必有E，C，D1，F四点共面；
（2）设D1F∩CE=O，
D1F∩CE=O，则O∈直线D1F，而D1F 平面ADD1A1，则O∈平面ADD1A1，
同理：O∈平面ABCD，
又由平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，必有O∈AD，
故A，O，D三点共线．
18.【答案】解：（1）证明：连接BD，由E，F分别是棱AC，BC的中点，可得EF∥AB，
EF 平面ABD，则EF∥平面ABD；
又D是棱B1C1的中点，可得BF∥DC1，且BF=DC1，
可得四边形BFC1D为平行四边形，即有C1F∥BD，
而C1F 平面ABD，则C1F∥平面ABD，
由面面平行的判定定理可得平面C1EF∥平面ABD，
而AD 平面ABD，可得AD∥平面C1EF；
（2）连接CD，由E为AC中点，可得，
由题意，2AA1=3AB=3，则，
作EG⊥BC于G，则EG⊥面BB1C1C，且，即三棱锥E-CC1D的高为，
所以．

19.【答案】解：（1）因为，
由余弦定理可得：，
所以，
又因为B∈（0，π），所以；
（2）（i）由，得ac=2，
由余弦定理得，
所以a2+c2=7，
因为BD为△ABC的中线，
可得2=+，两边平方可得42=2+2+2 =c2+a2+2accosB=7+2×2×（-）=5，
可得||=
即；
（ii）由余弦定理得，
所以ac=（a+c）2-9，
因为BE为△ABC的角平分线，
由S=S△ABE+S△ACE，
即acsinB=（a+c） BE sin，
即ac=BE（a+c）×，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
因为函数在（0，+∞）上都是增函数，
所以函数在（0，+∞）上是增函数，
所以当时，取得最大值，
即BE长的最大值为．
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