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2025-2026学年北京市中国人民大学附中高一（下）期中数学模拟试卷
一、单项选择题：本大题共13小题，共58分。
1.sin（-330°）等于（　　）
A. B. C. D.
2.角α的终边过点P（m,1），若，则cotα的值为（　　）
A. B. C. D.
3.已知，若的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）
A. B.
C. D. （3，+∞）
4.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x的正半轴为始边，它们的终边关于直线y=x对称，若，则cos（π+β）=（　　）
A. B. C. D.
5.已知向量，满足||=2，||=3，（-） =1，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
6.如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.以下不满足的角是（　　）
A. B. C. D.
8.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
9.已知θ为第三象限角，sinθ-cosθ=-，则=（　　）
A. - B. - C. D.
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．
A. B.
C. D.
11.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α（0°＜α＜45°），且小正方形与大正方形的面积之比为1：4，则tanα=（　　）
A.
B.
C.
D.
12.已知平面向量，，，且.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（　　）
A. B. C. D. 4
13.已知直线y=kx+2-2k与曲线交于A，B两点，平面上的动点P满足，，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共43分。
14.已知函数，则f（x）的定义域为：
15.已知，则= .
16.函数，的值域为 .
17.已知函数.下列命题：
①函数f（x）的图象关于原点对称；
②函数f（x）是周期函数；
③当时，函数f（x）取最大值；
④函数f（x）的图象与函数的图象没有公共点，
其中正确命题的序号是： .
18.已知函数的图象如图所示，点A（0，-2），B（a,2）在f（x）的图象上，若|AB|=5，则下列说法正确的是：
①
②f（x）图象关于x=-1对称
③f（x）在[4，7]上单调递减
④若将f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的mπ（m＞0）倍得函数g（x），g（x）在（0，2π）上恰有一个最大值，一个最小值，则
19.如图，在△ABC中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则x+y=______；若AB=3，AC=4，∠BAC=，则=______．
20.已知函数，若对于任意的，f（x1）+f（x2）≥f（x3）恒成立，则a的取值范围为 .
21.已知函数f（x）=sin（cos（ ）x- ）（0＜ ＜π）在上有且仅有一个零点，则 的取值范围是： .
三、解答题：本题共4小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题11分)
如图所示：角α为锐角，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x1，y1），设终边OQ对应的角度为β.
（1）求tanβ的值；
（2）求的值.
23.(本小题11分)
已知函数，直线与函数f（x）两个相邻交点之间的距离为π；
（1）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间：
（2）设函数，分别在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数g（x）存在且唯一，在该条件下，函数在区间上，m＜g（x）恒成立，求m的取值范围.
条件①：g（x）的最大值为；
条件②：g（x）在区间上单调递增；
条件③：g（x）为偶函数.
24.(本小题13分)
已知函数f（x）=cos2x.
（1）求不等式的解集；
（2）F（x）=-sin2x+2asinx+1，将f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）.若对任意的，都有F（x1）-g（x2）-3＜0，求实数a的取值范围.
25.(本小题14分)
已知集合A={a1，a2，…，ak}（k≥2）.其中ai∈N*（i=1，2，…，k）.若对于任意的a∈A，总有 A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a,b）|a∈A，b∈A，ab∈A}，T=，其中（a,b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n.
（Ⅰ）检验集合{2，3，6}与{1，2，4}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤；
（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】B
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】①④
18.【答案】①②④
19.【答案】-
20.【答案】[0，+∞）
21.【答案】
22.【答案】-2；
．
23.【答案】和 条件①：不符合题意；条件②：；条件③：
24.【答案】解：（1）因为，
即，
所以，
解得：，
所以，
所以不等式的解集为．
（2）由题意可得，
因为，所以，
所以．
又因为对任意的，都有F（x1）-g（x2）-3＜0成立，
所以，
F（x）=-sin2x+2asinx+1=-（sinx-a）2+a2+1，
因为，所以sinx1∈[-1，1]，
设t=sinx,t∈[-1，1]，可设G（t）=a2+1-（t-a）2，
则G（t）的图象为开口向下，对称轴为t=a的抛物线，
当a≥1时，G（t）在[-1，1]上单调递增，
所以G（t）max=G（1）=2a,
所以，解得，所以；
当a≤-1时，G（t）在[-1，1]上单调递减，
所以G（t）max=G（-1）=-2a,
所以，解得，故；
当-1＜a＜1时，，
故，
解得，所以-1＜a＜1，
综上所述：实数a的取值范围为．
25.【答案】S={（2，3），（3，2）}，T={（6，2），（6，3）} 因为对于任意的a∈A，总有，所以1 A，从而{（ai，ai）}∈T（i=1，2，…，k）．
因为，所以当i≠j时，（ai，aj）∈T和（aj，ai，）∈T（i，j=1，2，…，k）至多有一个成立．
所以集合T中的元素个数最多为，即 m=n，证明如下：
①设（a，b）∈T，则．设，则 a=bc，
故b∈A，c∈A，bc∈A，从而（b，c）∈S，
即对 （a，b）∈T，总 c使（b，c）∈S，从而n≤m．
②设（p，q）∈S，则 p∈A，q∈A，pq∈A．
设r=pq，则，故，从而（r，p）∈T，
即对 （p，q）∈S，总 r使（r，p）∈T，从而m≤n．
由①②可知m=n
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