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2025-2026学年山东省济南一中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.已知复数z满足z （1+i）=1-2i,则|z|=（　　）
A. B. C. D. 2
2.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0的复数z的对应点的轨迹是（　　）
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
3.在△ABC中，B=30°，，则角A的大小为（　　）
A. 45° B. 135°或45° C. 15° D. 105°或15°
4.已知空间向量，，且=+2，=-5+6，=7-2，则一定共线的三点是（　　）
A. A、B、C B. B、C、D C. A、B、D D. A、C、D
5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A，B，C，在A处测得山顶M，N的仰角分别为60°和30°，测得两个山顶的高分别为，且测得∠MAN=45°，则M，N间的距离为（　　）
A. 500m B. C. D.
6.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker,1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”.若i为虚数单位，z1=（1+ai）（3+i），z2=x-2i（a,x∈R），且z1=z2，则（　　）
A. x=-4，a=1 B. x=4，a=-1 C. x=-4，a=-1 D. x=4，a=1
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，则△ABC一定为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
8.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（　　）
A. B. C. D.
9.已知向量满足，则在上的投影向量为（　　）
A. （-2，1） B. （-2，3） C. D. （-1，3）
10.如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是三角形A′B′O′，若O′B′=3，O′A′=2，则原三角形的面积为（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
11.已知=（-2，-1），=（λ，1），若与的夹角α为钝角，则λ的取值范围为（　　）
A. （，+∞） B. （）∪（2，+∞）
C. （） D. （-2，2）
12.如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（　　）
A. B. C. 7π D. 6π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
13.已知复数是z的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A. 的虚部为i B.
C. z在复平面内对应的点位于第二象限 D. z为方程2x2+2x+1=0的一个根
14.已知向量，满足=1，，|，则下列结论中正确的有（　　）
A. 与夹角为 B.
C. D. 与夹角为
15.△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：：3，且，则（　　）
A. △ABC三个内角A，B，C满足关系A+C=2B
B. △ABC的周长为
C. 若∠B的角平分线与AC交于D，则BD的长为
D. 若E为△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
16.已知m∈R，i是虚数单位，复数z=m2+m-2+（m2-1）i.若z是纯虚数，m的值为 .
17.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=，则该棱台的体积为 .
18.正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为 .
19.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=______．
20.在△ABC中，若c=3，，其面积为，则a+b= ______.
21.如图，在△ABC中，，D是AB上的一点，P为CD上一点，且，若，，则的值为 .
四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题14分)
已知向量=（1，2），=（2，-1），=（m,2），m∈R.
（1）当（+）⊥（λ-）时，求实数λ的值；
（2）当∥（+）时，求向量与的夹角的余弦值.
23.(本小题14分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC边BC上的中线AD的长度为，求△ABC面积的最大值.
24.(本小题14分)
如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，BD=3.
（Ⅰ）若AD=2，cos∠BCD=，求AB；
（Ⅱ）若CD=2AD，且△ABC为等边三角形，求圆O的面积.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】B
12.【答案】A
13.【答案】CD
14.【答案】ACD
15.【答案】ABD
16.【答案】-2
17.【答案】
18.【答案】6
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】
22.【答案】1；
．
23.【答案】解：（1）由正弦定理及，得，
因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
所以，
即，
又C∈（0，π），所以sinC＞0，所以，
而A∈（0，π），所以．
（2）因为D是BC中点，所以，
所以，
所以，即b2+c2+bc=24，
又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当时等号成立，
所以bc≤8，
所以，
即△ABC面积的最大值为．
24.【答案】解：（1）因为四边形ABCD为圆O的内接四边形，所以∠BAD+∠BCD=π，
又，所以，
在△ABD中由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD ABcos∠BAD，
即，整理得5AB2+16AB-205=0，
解得AB=5或（舍去），所以AB=5．
（2）设CD=2AD=2a,△ABC为等边三角形，设AB=BC=AC=b,
在△ABD中由余弦定理可得，
在△BCD中由余弦定理可得，
因为四边形ABCD为圆O的内接四边形，所以∠BAD+∠BCD=π，
所以cos∠BAD+cos∠BCD=0，
即，
则，即b2+3a2=30①，
又因为正△ABC中，所以，
在△ACD中由余弦定理得，
即，所以b2=7a2，②
联立①②解得，，
如图，取AB中点，连接CE，由对称性可知圆心O在中线CE上，连接AO，
所以，又因为CO=AO=2OE，
所以半径，
所以圆的面积为：S=πr2=7π．
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