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2025-2026学年浙江省宁波市鄞州中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=（4-5i） i3的虚部为（　　）
A. -5 B. -4i C. 4 D. -4
2.已知向量，则“m=3”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.正方形ABCD边长为2，点E，F分别为BC，CD的中点，则cos∠EAF=（　　）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A. （-1，-1） B. C. D. （1，1）
5.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A′B′C′D′.其中A′B′∥C′D′，A′B′⊥B′C′，A′B′=4，D′C′=1.以原四边形ABCD的边AD为轴，旋转一周得到的几何体体积为（　　）
A. 62π B. C. D.
6.如图，在河岸CD上测量河对面A，B两点间的距离，测得∠ACD=60°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠ADB=30°，CD=2，则AB=（　　）
A. B. C. 2 D.
7.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别，且E，F分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当AE+EF+FC1最小时，以A为球心，AE的长为半径的球面与上底面A1B1C1D1的交线长为（　　）
A. 2
B. π
C.
D. 2π
8.已知△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积，角C的平分线交AB于D点，且a=6，CD=5，则BD=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则下列选项中，使得△ABC有两解的有（　　）
A. A=30°，b=4，c=3 B. A=30°，b=4，a=3
C. A=60°，b=4，a=3 D.
10.下列命题是真命题的是（　　）
A. 对于非零向量，若，则
B. 对于复数z1，z2，z3，若z1 z2=z1 z3，且z1≠0，则z2=z3
C. 对于向量，若，则
D. 对于复数z1，z2，若，则z1=z2=0
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（　　）
A. B. a2+b2≥c2
C. 当a最小时，sinA+sinAcosA=1 D. 当a=b时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A（1，2），B（-1，1），若，则C点坐标为 .
13.已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为 .
14.在以O为圆心，半径为AO=1的⊙O中，有一个内接锐角三角形ABC，其中，∠BAC的角平分线交BC于点D，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量.
（1）当时，求实数λ的值.
（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
复数z1=a-1+（a-2）i其中a∈R，复数z2满足，其中i为虚数单位.
（1）若z1为虚数，求a的取值范围；
（2）求与|z2|；
（3）求|z1-z2|的最小值.
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，，四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成新的几何体.
（1）求该几何体的表面积和体积；
（2）若旋转过程中，点C和点B始终落在球O上，求球O的表面积.
18.(本小题17分)
记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.
（1）若f（x）=sinx,证明：f（sinA）＞f（cosB）.
（2）当c=2，时，求△ABC面积的最大值.
（3）当角A，B，C满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，若A≤B≤C，试探讨tanC-tanB是否为定值？请说明理由.
19.(本小题17分)
如图，若Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，则称平面坐标系xOy为xOy（α）仿射坐标系；在xOy（α）仿射坐标系中，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在xOy（α）仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求sinα；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BC
11.【答案】ABC
12.【答案】（-5，-1）
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】{a|a≠2}
17.【答案】表面积，体积 116π
18.【答案】由题意可知，则，
f（x）=sinx在上单调递增，
则，
故f（sinA）＞f（cosB） 是，tanC-tanB=1，由（2）知tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
记x=tanC，y=tanB，z=tanA，
则x+y+z≤[x]+[y]+[z]，
[t]≤t，则[x]+[y]+[z]≤x+y+z≤[x]+[y]+[z]，
则x+y+z=[x]+[y]+[z]，故x，y，z必为整数．
A≤B≤C，则，则，
又因为tanA∈Z，则tanA=1，解得，
因为B≤C，所以，
则，
化简得tanBtanC-tanB-tanC-1=0，
则tanB（tanC-1）-（tanC-1）=2，得（tanB-1）（tanC-1）=2，
又tanA，tanB，tanC均为整数，则tanB=2，tanC=3或tanB=3，tanC=2，
，，B≤C，
则，
故tanB=2，即tanC=3，tanB=2，tanA=1，
故tanC-tanB=1
19.【答案】
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