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2025-2026学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则=（　　）
A. 90 B. 72 C. 45 D. 42
2.已知函数，则f′（1）=（　　）
A. -1 B. 2e+1 C. 2e D. 1
3.函数的单调增区间为（　　）
A. （-∞，4） B. （0，2） C. （0，4） D. （4，+∞）
4.集合M={-1，2，3}，N={3，-5，6，-4}，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.函数的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
6.若在[-2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. （-∞，-2） D.
7.已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=2026，若对任意的x∈R，都有f（x）＜f′（x），则不等式f（x）＜2026ex的解集为（　　）
A. （0，+∞） B. C. （-∞，0） D.
8.因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有（　　）种
A. 181 B. 109 C. 84 D. 96
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（　　）
A. n=12 B. 展开式中项数共有11项
C. 含x2的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为3
10.下列说法正确的是（　　）
A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有53种
B. 从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法
C. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84
D. 6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10
11.已知函数f（x）=2x3-3x2+（1-a）x+b,则下列结论正确的是（　　）
A. 当a=1时，若f（x）有三个零点，则b的取值范围是（0，1）
B. 当a=1且x∈（0，π）时，f（sinx）＜f（sin2x）
C. 若f（x）满足f（1-x）=2-f（x），则2b-a=2
D. 若f（x）存在极值点x0，且f（x0）=f（x1），其中x0≠x1，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x+y）10的展开式中二项式系数的最大值是______．
13.已知函数（e是自然对数底数）在定义域R上有三个零点，则实数t的取值范围是 .
14.已知曲线y=ex+a与y=（x-2）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果）
（1）3名女生相邻；
（2）3名男生互不相邻；
（3）若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站；
（4）老师不站中间，女生不站两端.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=xsinx.
（1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求f（x）在点（π，0）处的切线方程；
（3）求证：函数f（x）在内有且只有一个极值点.
17.(本小题15分)
已知，
（1）求a0+a1+a2+ +a11的值；
（2）求a1+2a2+3a3+ +11a11的值；
（3）求a2的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax+1.
（1）求f（x）的极值；
（2）当a=1时，xf（x）-3x-b≥0对x∈[-2，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若g（x）=ex（x-1）-alnx+f（x）-1有两个零点，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2-lnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=0时，请问m在什么范围内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在（t,3）上总存在极值？
（3）若存在x1，x2∈[1，3]，x2-x1≥1，使得f（x1）=f（x2），求a的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】252
13.【答案】（e,3]
14.【答案】（-∞，2ln2-4）
15.【答案】720 1440 840 1296
16.【答案】函数f（x）在区间上为增函数，理由如下：
因为f（x）=xsinx，所以f′（x）=sinx+x cosx，
又，所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在区间上为增函数 y=-πx+π2 设h（x）=f′（x），
则h′（x）=cosx+cosx-x sinx=2cosx-x sinx，
当时，h′（x）＜0，所以h（x）在上为减函数，
又，h（π）=-π＜0，
所以存在唯一的，使得h（x0）=f′（x0）=0，
当x变化时，f（x）与f′（x）在区间内的变化情况如下：
x x0 （x0，π）
f′（x） + 0 -
f（x） 增函数 极大值 减函数
所以函数f（x）在内有且只有一个极值点
17.【答案】1 18 -325
18.【答案】当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值a-alna+1，无极大值 b≤-（ln2）2 （e，+∞）
19.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 a的最大值为
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