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2025-2026学年福建省福州市闽侯县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列各数中，为无理数的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，AB∥CD，若∠D=55°，则∠1的度数为（　　）

A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°
4.在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（　　）
A. （3，4） B. （-3，4） C. （-3，-4） D. （3，-4）
5.如图所示，添加一个条件后可得AB∥CD，则添加这个条件不能是（　　）
A. ∠A=∠2
B. ∠A=∠1
C. ∠B=∠2
D. ∠A+∠ACD=180°
6.如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（　　）
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 过一点可以作无数条直线
7.用三角板过点A作BC所在直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（　　）
A. B.
C. D.
8.如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 130°
9.如图，点E在长方形纸片ABCD的边BC上，连接AE，将长方形的纸片沿AE折叠，点B落在点B′处，设∠ADB=α，∠BAE=β，当AB'∥BD时，α与β之间满足的数量关系为（　　）
A.
B.
C. α+β=90°
D. β-α=45°
10.在平面直角坐标系中，点A（2m,0），B（4m+1，0），P（3m+2，0），PQ⊥x轴，点Q的纵坐标为2m.则以下说法正确的是（　　）
A. 当m=-3时，点P是线段AB的中点 B. 无论m取何值，线段BP的长度恒为3
C. 存在唯一一个m的值，使得AB=2PQ D. 存在唯一一个m的值，使得AB=PQ
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.4的算术平方根是 .
12.命题“两直线平行，同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题.
13.若x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为______．
14.如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知BE=4，AG=3，AC=7，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D'处，A′E交CD于点G，若∠AEF=40°，则∠A′GC= .
16.如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1（0，0），A2（1，1），A3（2，0），A4（0，-2），A5（-2，0），A6（1，3），…，依图中所示规律，点A2020的坐标为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
求下列各式中的x值.
（1）（x+2）2=225；
（2）.
19.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知△ABC的顶点A的坐标为（1，4），顶点B的坐标为（4，3），顶点C的坐标为（3，1）.
（1）把△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A′B′C′，请你画出△ABC和△A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B'，C′的坐标和△ABC的面积.
20.(本小题8分)
中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“七”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，BC∥ED.求证：∠ABC+∠D=180°.
在下列括号内填写推理过程或依据：
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=______（______）.
∵BC∥ED（已知），
∴______（______）.
∴∠ABC+∠D=180°（等式的基本事实）.
21.(本小题8分)
在手工课上，小华想用一张面积为400cm2的正方形彩纸，沿着边的方向裁出一块面积为380cm2的长方形纸片，用来制作一张精美的贺卡，并且希望这张长方形纸片的长与宽之比为5：4.他正在发愁能否裁出来，就在这时，同桌小明自信满满地说：“面积大的纸肯定能裁出面积小的纸!”那么，你同意小明的这种说法吗？如果同意，请通过计算设计一种可行的裁剪方案，如果不同意，请说明理由.
22.(本小题10分)
阅读素材，并解决三个任务.
核心素养：应用意识，创新意识
素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘.
步骤一 ∵=10，，1000＜59319＜1000000，
∴10＜59319＜100.
∴能确定59319的立方根是个两位数.
步骤二 ∵59319的个位数是9，93=729，
∴能确定59319的立方根的个位上的数是9.
步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得.由此能确定59319的立方根的十位上的数是3.
因此59319的立方根是39.
问题解决
任务1 深入探究 思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数：分析：13=1，23=8，33= ______，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9.
思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？
分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动______位.划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了.
任务2 解决问题 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空.①它的立方根是______位数；
②它的立方根的个位上的数是______；十位上的数是______；
任务3 拓展应用 一个实心正方体钢块的体积是778688cm3，棱长为整数厘米.请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长.
23.(本小题10分)
阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”.
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m,n,使得，
于是有2m2=n2.
∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数.
设n=2t（t是正整数），则n2=4t2，即4t2=2m2，
∴2t2=m2，
∴m也是偶数，
∴m,n都是偶数，不互质，与假设矛盾.
∴假设错误，
∴不是有理数.
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分.事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分.
请解答：
（1）用类似的方法，请证明是无理数；
（2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值；
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x-y的相反数.
24.(本小题12分)
问题探究：
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图①），我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系；已知AB∥CD，我们发现∠BED=∠ABE+∠CDE.我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B，∠DEF=∠D.
李思同学：如图③，过点B作FG∥DE，则∠E=∠GBE，再证明∠ABG=∠D.然后思路就卡壳了，不知道怎么证明∠ABG=∠D.
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，帮助她继续完成证明；（可继续添加辅助线）
问题迁移：
（3）如图④，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD=36°，∠AHD=148°，过点D作DG∥CB交直线AB于点G，AH平分∠BAD，DH平分∠CDG，求∠BCD的度数.
25.(本小题14分)
如图1，点A（a,0）、B（b,0），其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD.
（1）请直接回答：a=______，b=______，C的坐标是______，D的坐标是______；
（2）连接AD交OC于点E，求OE的长；
（3）如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动.设运动时间为t秒（0＜t≤2），射线DN交y轴于点F.问S△FMD-S△OFN的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】2
12.【答案】真
13.【答案】3
14.【答案】22
15.【答案】100°
16.【答案】（0，-1010）
17.【答案】 -8
18.【答案】x=13或x=-17 x=5
19.【答案】如图，△A′B′C′为所作； 点A′的坐标为（-4，0），点B′的坐标为（-1，-1），点C′的坐标为（-2，-3） 3.5
20.【答案】∠BCD 两直线平行，内错角相等 ∠ BCD+∠EDC=180° 两直线平行，同旁内角互补
21.【答案】不同意，理由如下：
由条件可知正方形的边长为，
∵长方形纸片的长与宽之比为5：4．
设长方形纸片的长为5a（cm），宽为4a（cm），
根据长方形面积公式，得5a 4a=380，
整理得a2=19，
∴，
因此长方形纸片的长为，
因为，202=400，
475＞400，所以，
因此长方形的长大于正方形的边长，不能裁出符合要求的长方形纸片，不同意小明的说法．
22.【答案】27 1 两 8 5
23.【答案】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得=，
于是有5m2=n2．
∵5m2是5的倍数，
∴n2也是5的倍数，
∴n是5的倍数．
设n=5t（t是正整数），则n2=25t2，即25t2=5m2，
∴5t2=m2，
∴m也是5的倍数，
∴m，n都是5的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴不是有理数
24.【答案】过点E作EF∥AB，且点F在点E的右侧，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BEF=∠B，∠DEF=∠D，
∴∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，
∴∠BED=∠B+∠D 过点B作FG∥DE，延长DE交AB于点P，如图③所示：
∴∠BED=∠GBE，∠ABG=∠BPE，
∵AB∥CD，
∴∠BPE=∠CDE，
∴∠ABG=∠CDE，
∵∠BED=∠GBE=∠ABE+∠ABG，
∴∠BED=∠ABE+∠CDE 80°
25.【答案】-1;3;（0，2）;（4，2） S△FMD-S△OFN的值是定值；3
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