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2025-2026学年福建省泉州市鲤城区培元中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的倒数是（　　）
A. B. -3 C. 3 D.
2.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A. 7×10-7 B. 0.7×10-8 C. 7×10-8 D. 7×10-9
3.下列二次根式中能与合并的是（　　）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点（2，-1）关于x轴对称的点是（　　）
A. （2，1） B. （1，-2） C. （-1，2） D. （-2，-1）
5.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果如图所示，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（　　）
A. 6小时 B. 7小时 C. 15人 D. 10人
6.下列运算正确的是（　　）
A. a2+a3=a5 B. （ab+b）÷b=a
C. （2ab）3=6a3b3 D. （2a+b）（2a-b）=4a2-b2
7.如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DF=4，则CF的长为（　　）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
8.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A. = B. = C. = D. =
9.如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，M是BC的中点，AD平分∠BAC，MF∥AD，则FC的长为（　　）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10.已知二次函数y=ax2+4ax+c（a≠0），当x＞-1时，y随x的增大而增大，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞-1，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法判断
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.= ．
12.因式分解：2a2-8a+8= ．
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则tan∠ACB的值是 .
14.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= ．
15.如图，点A在反比例函数y1=（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为 ．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P为边AD上一动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到QP，点C的对应点为Q，连接BQ，CQ，则BQ的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：（1-）÷，其中x=2.
19.(本小题8分)
如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC.
20.(本小题8分)
某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
（1）本次共抽取了______名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，请求出甲、乙两人同时被选中的概率.
21.(本小题8分)
如图，已知△ABC.
（1）请用无刻度的直尺和圆规在边BC、CA、AB上分别确定点D，E，F，使四边形BDEF是菱形.（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB=10，BC=15，求（1）中所作菱形BDEF的边长.
22.(本小题10分)
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接OM.
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45°.
24.(本小题12分)
综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数a,b,c,d,其中，a＞b,c＞d”为条件进行了延伸探究.
【结论初探】
（1）小明发现a+c＞b+d,并给出了如下说理过程.
∵a＞b,c＞d,
∴a+c＞b+c,c+b＞d+b,
∴a+c＞b+c＞d+b,
∴a+c＞b+d.
请判断ac与bd的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由；
【作图再探】
（2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论：
①如图1，在射线OM上截取OA=a,OB=b,因为a＞b,则点B落在线段OA上；
②分别在BA的延长线、OB的延长线上截取AC=c,BD=d,则BC=a-b+c＞d,则点D落在线段BC上；
③由图1可知，OC=a+c,OD=b+d,点D在线段OC上，所以，OC＞OD，即a+c＞b+d.
小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明ac与bd的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点A，B；作射线ON⊥OM，….请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明ac与bd的大小关系；
【拓展延伸】
（3）请进一步探究：若CD为△ABC的高，AC BC与CD AB之间具有怎样的大小关系；
【结论应用】
（4）如图3，四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，判断AB BC+CD AD与AC BD的大小关系并说明理由.
25.(本小题14分)
已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】5
12.【答案】2（a-2）2
13.【答案】2
14.【答案】3
15.【答案】6
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】解：（1-）÷
=
=
=x+1，
当x=2时，
原式=2+1=3．
19.【答案】证明：∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
∵∠1=∠2，
∴DE=EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
20.【答案】400，补全条形统计图如下：
估计竞赛成绩为B等级的学生人数为1280名；

21.【答案】菱形BDEF，如图即为所求； 6
22.【答案】解：（1）如图：
∵BC=x,矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x,
∴BD=3x,AB=CF=DE=（24-BD）=8-x,
依题意得：3x（8-x）=36，
解得：x1=2，x2=6（不合题意，舍去），
答：此时x的值为2m.
（2）设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3＜0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为（m2）．
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
23.【答案】b=3，M（3，-3） 由（1）可知，直线AB的解析式为，
∵直线AB向下平移后过点M（3，-3），
∴设直线CM的解析式为，将点M的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线CM的解析式为，
设直线CM：与y轴交于点E，
当y=0时，得：
-x-=0，
解得：x=-3；当x=0时，得：，
∴点C（-3，0），点，
∴OC=3，，
在直角三角形COE中，由勾股定理得：，
∴，
如图，过点D作DH⊥CM于点H，
∵D（2，0），C（-3，0），M（3，-3），
∴CD=5，，
∴，
∴，
∴∠HMD=45°，
∴∠ADM-∠ACM=∠HMD=45°
24.【答案】解：（1）∵a＞b,c＞d,四个正数a,b,c,d,
∴ac＞bc,bc＞bd,
∴ac＞bc＞bd.
∴ac＞bd；
（2）①如图，作出点A，B；作射线ON⊥OM，在射线OM上截取OA=a,OB=b,因为a＞b,则点B落在线段OA上；
②作出点C，D；在射线ON截取OC=c,OD=d,∵c＞d,则点D落在线段OC上；
③过点A作AE∥ON，过点C作CE∥OM，两线交于点E，同理作出交点F；
④根据作图，得到四边形OBFD，OAEC都是矩形，且S矩形OBFD=OB OD=bd；S矩形OAEC=OA OC=ac；
⑤根据矩形OBFD在矩形OAEC内部，根据整体大于部分的原理，得到S矩形OAEC＞S矩形OBFD；
⑥故ac＞bd.
（3）AC BC＞CD AB．理由如下：
过点B作BE⊥AC于点E，根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，
得BC＞BE，故AC BC＞BE AC，
而CD为△ABC的高，
故，
故AB CD=AC BE，
故AC BC＞CD AB；
（4）AB BC+CD AD＞AC BD．理由如下：
四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，
根据（3）中的结论，得AB BC＞AC BO，CD AD＞AC OD，
故AB BC+CD AD＞AC BO+AC OD，
故AB BC+CD AD＞AC（BO+OD），
故AB BC+CD AD＞AC BD．
25.【答案】证明：如图，连接OC，

∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC 证明：如图，连接OC，

由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG=

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