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2025-2026学年山东省淄博市高青县八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.一元二次方程5x2-4x-1=0的根的情况是（　　）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=13，BD=10，则AC的长是（　　）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
4.下列选项中，运算正确的是（　　）
A. 4-=4 B. +=3 C. ×= D. =2
5.用配方法解一元二次方程x2+2x-2=0，配方正确的是（　　）
A. （x+1）2=1 B. （x+1）2=3 C. （x-1）2=2 D. （x-1）2=3
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=6，AD=8，则OA的长为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
7.一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为m和n,则代数式m2+n2的值为（　　）
A. 17 B. 6 C. 33 D. 26
8.如图，一个矩形被分割成四部分.已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，点P在BC上，则DP+AP的最小值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，且a≠0，c≠0）下列说法：
①若一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，则一元二次方程cx2-bx+a=0也无实数根；
②若一元二次方程ax2+bx+c=0满足b+4a=0，4a+2b+c=0，则一元二次方程cx2-bx+a=0有两个相同的实数根；
③若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x=m（m≠0），则是一元二次方程cx2-bx+a=0的根.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
12.若关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的一个根为x=1，则k= .
13.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于 cm2.
14.设a,b是方程x2-12x+9=0的两个根，则等于 .
15.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2026B2026C2026D2026的边长是 .
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
（1）计算：；
（2）解方程：x2-4x+4=5.
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若AC平分∠DAE，AD∥CE.
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD=5，△ACD的周长为18，求菱形AECD的面积.
18.(本小题10分)
求代数式的值，其中a=10.如图是小明和小颖的解答过程：
（1）填空：______的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中x=-2026.
19.(本小题10分)
已知一个矩形的长，宽.
（1）求这个矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，求这个正方形的边长.
20.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x-k-2=0.
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2-4x1x2=1，求k的值.
21.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF=DC，DF⊥AE于F．
（1）求证：AE=BC；
（2）如果AB=3，AF=4，求EC的长．
22.(本小题14分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m-2）x+m+10=0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC=4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a,b,c,那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S△ABC=，其中p=，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
23.(本小题16分)
如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD=AE，求证：AB=AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB=1，求OF的长.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】x≥1
12.【答案】1
13.【答案】6
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】见解析；
24．
18.【答案】小明 2032
19.【答案】12 2
20.【答案】（1）证明：∵=（2k-1）2-4×1×（-k-2）
=4k2+1-4k+4k+8
=4k2+9＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2=-（2k-1），x1x2=-k-2，
由x1+x2-4x1x2=1得：-（2k-1）-4（-k-2）=1，
解得：k=-4．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB=DC，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∵DF=DC，
∴AB=DF，
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE=AD，
∴AE=BC；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA，
∴BE=AF=4，AE=BC，
∵∠B=90°，
∴AE===5，
∴BC=5，
∴EC=BC-BE=5-4=1．
22.【答案】解：（1）由题意得：=b2-4ac=[2（m-2）]2-4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤-64，
解得：m≤-1且m≠-2；
（2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长，
∴x1=x2，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m-2）x+m+10=0的两实数根，
∴=b2-4ac=[2（m-2）]2-4（m+2）（m+10）=0，
解得m=-1，
∴x2-6x+9=0，
解得x1=x2=3，
∵BC=4，
∴△ABC的周长为：3+3+4=10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
∴p==5，
∴S△ABC===，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF=ID=IE，
∴S△ABC====，
解得ID=，
∴S△BIC=．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF=∠ABE=90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴，
在中，，
∴，进而，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG=∠EAB，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB=AG；
（3）解：由（2）知，且四边形ABEF是正方形，
∴，,
∵，
∴，
由，，可得，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．

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