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2025-2026学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，AB的长为（　　）
A. B. 2 C. D.
3.下列物体应用了四边形的不稳定性的是（　　）
A. 木质梯子 B. 学校门口的伸缩门 C. 矩形门框 D. 正方形地砖
4.如图，一棵大树在离地6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树的高度是（　　）
A. 10m
B. 14m
C. 16m
D. 18m
5.实数m,n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　）
A. m+n+4 B. -m-n C. m-n D. n-m
6.如图， ABCD中，∠B+∠D=110°，则∠C的度数为（　　）
A. 100°
B. 110°
C. 125°
D. 135°
7.如图，已知O为数轴原点.在数轴上截取线段OA=2，过点A作直线n垂直于OA，在直线n上截取线段AB=3，以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C.根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（　　）
A.
B. 3
C. 4
D.
8.我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE.若正方形ABCD的面积为10，，则CE的长为（　　）
A. 5
B.
C. 10
D.
9.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF的度数为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 60°
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（9，0），且∠ACB=90°，CA=CB，则点C的坐标为（　　）
A. （6，6）
B. （6，7）
C. （7，6）
D. （7，7）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.代数式有意义，则x取值范围为 .
12.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 边形．
13.如图，在 ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF= ．
14.如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于点E，交BC延长线于点F.若AB=9，BC=5，则CE+CF的长为 .
15.如图，正方形ABCD的边长为9，E是CD的中点，FG垂直平分AE且分别交AE，BC于点F，G，则BG的长为 .
16.如果把a2+b2=c2看作是a,b,c的方程，那么满足这个方程的正整数解a,b,c通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；….分析这些勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），….分析其中的规律，第6个勾股数组为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）-+2；
（2）.
18.(本小题8分)
已知：如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，
求证：四边形AECF是平行四边形．
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．
20.(本小题8分)
求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE=12，OE=6.5，求线段CE的长.
22.(本小题10分)
如图，已知在△ABC中，点D在边BC上.
（1）求作四边形ABDE，使得AE∥BD，且AE=BD；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，点F在边BC上，且BF=DC，连接AF，CE，EF.当∠BCE=∠AEC时，若AC=8，求EF的长.
23.(本小题10分)
[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.
例如：，，我们称和互为有理化因式，和-1互为有理化因式.
问题1：（1）的有理化因式是______（写出一个即可）；
（2）的有理化因式是______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.
问题2：利用分母有理化化简下列式子：
.
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化.例如：
.
问题3：试利用分子有理化比较和的大小.
24.(本小题12分)
我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点.例如，在图1中，若CD是△ABC中AB边上的高，且BC2-CA2=CD2，则称△ABC为勾股高三角形，点C为勾股顶点.
【特例感知】
（1）如图1，CD是△ABC中AB边上的高，已知AD=1，BD=2，CD=，请通过计算说明△ABC是否是勾股高三角形.
【深入探究】
（2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，且CA＞CB，CD是AB边上的高.探究线段AD与BC的数量关系，并给予证明.
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，且CA＞CB，CD为AB边上的高，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC垂足分别为E，F.若AB=BC，且DF=，求DE的长.
25.(本小题14分)
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形. 现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD=+1.如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开.
（1）求AB的长；
（2）求证：四边形CDEF是黄金矩形；
（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，使点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q . 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】x≥
12.【答案】八
13.【答案】4
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】13，84，85
17.【答案】 -24+4
18.【答案】证明：连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
19.【答案】解：连接BD，
在Rt△BAD中，
∵AB=AD=2，
∴∠ADB=45°，，
在△BCD中，
DB2+CD2=8+12=9=CB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+90°=135°．
20.【答案】证明：连接BD，
∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．
又∵G、H为BC，CD中点，
∴GHBD，
故GHFE．
同理可证，EHFG．
∴四边形FGHE是平行四边形．
21.【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∵AB=AD，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，即O为AC中点，
∵CE⊥AB
∴∠AEC=
在Rt△ACE中，OE=6.5，O为AC中点，
∴AC=2OE=13，
在Rt△ACE中，AC=13，AE=12，
根据勾股定理得：CE==5．

22.【答案】如图，四边形ABDE即为所求； EF=8
23.【答案】 3+；问题2：-1；问题3：-＜-
24.【答案】∵CD是△ABC中AB边上的高，AD=1，BD=2，CD=，
∴BC2-AC2=BD2+CD2-CD2-AD2=4-1=3，CD2=（）2=3，
∴BC2-AC2=CD2，
∴△ABC是勾股高三角形 AD=BC，
由CA2-CB2=CD2可得：CA2-CD2=CB2，
而CA2-CD2=AD2，
∴AD2=CB2，即AD=BC
25.【答案】解：（1）∵，矩形ABCD是黄金矩形，
∴，
∴；
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，
∴AB=AE，∠B=∠AEF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，，
∴∠BAE=∠B=∠AEF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AB=AE，
∴四边形ABFE是正方形，
∴AB=BF=EF=AE，
由（1）可知，AB=2，
∴AB=BF=EF=AE=2，
∴，
∵∠C=∠D=∠DEF=90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴EF=CD=2，
∴，
∴四边形CDEF是黄金矩形；
（3）四边形BPQF是黄金矩形，证明如下：
∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形，
∴∠B=∠BFE=∠PQF=90°，
∴四边形BFQP是矩形，
由（2）可知，AB=BF=AE=EF=2，
∵G为AE的中点，
∴AG=EG=1，
∴，
如图，连接PG，由折叠可得：FH=FB=2，BP=PH，∠PHF=∠B=90°，
设BP=PH=x,则AP=2-x,
∵S△APG+S△PBF+S△PGF=S梯形ABFG
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形BFQP是黄金矩形．
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