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江苏无锡市江阴市2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列调查中，最适合采用普查方式的是（）
A. 调查某市市民垃圾分类的情况 B. 调查机场某航班的旅客是否携带违禁物品
C. 调查某品牌新能源电池的使用寿命 D. 调查全国中学生参与家务劳动的情况
2.下列事件是必然事件的是（）
A. 期中考试数学得满分 B. 购买一张电影票，座位号正好是偶数
C. 水往高处流 D. 367人中至少有两人的生日相同
3.南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（）
A. 0.2 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.35
4.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等
6.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC，AB的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A. 32 B. 24 C. 16 D. 12
7.下列说法错误的是（）
A. 平行四边形的对边相等 B. 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 矩形的对角线互相垂直平分 D. 菱形的每条对角线平分一组对角
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　）
A. AB=CD B. AC=BD C. AO=DO D. AO=CO
9.中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点N恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长度是（　）
A. B. C. D.
10.如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①④⑤ D. ①③④⑤
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.多项式的公因式是 ．
12.有一只蚂蚁在如图所示的圆上爬来爬去，两圆半径分别为1和2，则蚂蚁最终停留在白色区域的可能性 停留在阴影区域的可能性(填“＞”“＜”或“=”).
13.已知，则的值为 ．
14.如图，中，，则 ．
15.如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 ．
16.如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ．
17.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ．
18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AM平分∠BAC，交BD、BC于点P、M，连接MD，当OP=1，∠BAM=∠BDC时，点C到MD的距离为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.因式分解：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
当今的“低头族”随处可见，走在路上刷手机、等公交刷手机，各类APP无情地吞噬着我们．一项调查显示，颈部承受的压力随着颈部弯曲角度的增大而增大．某校生物兴趣小组对“低头族”人群习惯性的颈部弯曲角度进行随机问卷调查，按颈部弯曲的角度x（单位：）分为六组， 即A．； B．； C．； D．； E．； F．．
级别 弯曲角度 频数
A 8
B 24
C a
D 12
E 4
F 2
并绘制了以下不完整的统计图表：
习惯性颈部弯曲角度调查结果频数统计表：
请根据以上图表信息解答下列问题：
(1) 本次调查的总人数为 人， ， ；
(2) 直接在图中补全频数分布直方图；
(3) 求扇形统计图中E组对应的圆心角的度数；
(4) “低头族”长期刷手机会对颈部造成危害，请你为“低头族”提出一条合理化的建议．
21.(本小题7分)
如图，在梯形中，，，，交于点E，若，求边的长．
22.(本小题8分)
如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1) 在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形；
(2) 在图②中，在四边形的边上找一点N，连结，使．
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
(2) 若，求四边形的面积．
24.(本小题9分)
定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”．
(1) 特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”）
(2) 规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3) 迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积．
25.(本小题9分)
将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，设直线与直线交于点E．
(1) 猜想与的数量关系，并证明；
(2) 如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），
①连接，求证：四边形是平行四边形；
②连接，，设线段交于点O，求证：点O为线段中点．
(3) 在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，当三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
26.(本小题9分)
【问题探究】
(1) 如图1，P、Q是正方形的对角线上的点，且，连接，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2) 如图2，在梯形中，，E为边上一点，且，P、Q是对角线BD上的两个动点，且，连接，求的最小值；
(3) 【问题解决】如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形的森林生态公园，沿其对角线修建一条景观水渠，其中．现在计划在水渠上找两个点，沿修建笔直的健身步道，沿修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是15万元，修建塑胶跑道的费用是30万元．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为 ．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计）
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】＞
13.【答案】-15
14.【答案】
15.【答案】25
16.【答案】
17.【答案】10
18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

20.【答案】【小题1】
80
30
10
【小题2】
解：补全频数分布直方图如下：
【小题3】
解：扇形统计图中E组对应的圆心角的度数为；
【小题4】
解：建议：定期进行颈部肌肉的锻炼，如颈部伸展运动，以增强颈部支撑力，预防颈椎病（答案不唯一）．

21.【答案】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
如图①中，平行四边形即为所求；
【小题2】
如图②中，点即为所求．

如图所示，找到格点，连接，
，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
找到格点，则是矩形，
∴是的中点，
连接，并延长交线段于点N，
则垂直平分，
∴平分，
即．

23.【答案】【小题1】
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，即，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题2】
（2）解：四边形是平行四边形，
∴，即，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
平行四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．

24.【答案】【小题1】
不是
【小题2】
解：“和谐数”能被8整除．理由如下：
，
是正整数，
能被8整除，
能被8整除；
【小题3】
解：阴影部分的面积

，
答：阴影面积为20000．

25.【答案】【小题1】
解：，证明如下：
四边形与四边形都是矩形，如图①，连接，
，
，
即，
将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，
，
在和中，，
，
；
【小题2】
①证明：如图2：连接，
根据旋转的性质可得：，
四边形是矩形，
，，，
即，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
②如图②，连接，过作交于，连接，，，记与的交点为，
根据旋转的性质可得：，，，
四边形是矩形，
，，，
即，，
又，
，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，即点为线段中点．
【小题3】
解：如图3，当点，在的同一侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
；
如图4：当点，在的异侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．

26.【答案】【小题1】
解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【小题2】
解：如图2，连接，
∵梯形，，
，
，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，，
在中，，，
，
∴当Q位于与的交点处时，取得最小值，最小值为．
【小题3】
解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用．
如图3：取的中点E，的中点F，连接，作点A关于的对称点，交于点K，过点作交的延长线于点G，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
∴
∵，
，
∴，
，
，，
∴是的中位线，
，
∵点A与点关于的对称，
，
∴，
在中，，
∴，
∴
，
，
在中，，
，
，
，
．
，
的最小值为．
答：修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元．

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