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2025-2026学年黑龙江省大庆外国语学校高一（下）第一次质检数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则c=（　　）
A. B. 3 C. D.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2，则该三角形的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.下列命题中，正确的个数为（　　）
①设O是坐标原点，向量、对应的复数分别为2-3i、-3+2i,那么向量对应的复数是-5+5i；
②复数z是x2-2x+3=0的根，则；
③若复数2+3i是关于x的方程x2+2px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q=11；
④已知复数z满足|z-1+i|=3，则复数z对应的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为3的圆.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若acosB-bcosA=c，则 的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
7.设向量、满足：||=2，||=1，，的夹角是60°，若2t+7与+t的夹角为钝角，则t的范围是（　　）
A. （-7，-） B. （-7，-）∪（-，-）
C. [-7，-）∪（-，-] D. （-∞，-7）∪（-，+∞）
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量=（，1），=（cosα，sinα），α∈[0，]，则下列结论正确的有（　　）
A. B. 若，则tanα=
C. 的最大值为2 D. 的最大值为3
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若A=30°，b=4，a=5，则△ABC有两解
C. 若，且，则△ABC为等边三角形
D. 若A=60°，a=5，则△ABC面积的最大值为
11.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,O为△ABC的外心，b=4，c=5，且有.若，则下列结论正确的是（　　）
A. B. △ABC内切圆半径
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F为线段DE上的一点，且，则实数λ＝ ．
13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于______m．
14.已知正方形ABCD的边长为，设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，与的夹角为60°.
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数k的值.
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．
17.(本小题15分)
在△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积为S，且.
（1）求角B的大小；
（2）在△ABC中，，求2a+c的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如图所示，D为△ABC外一点，，AC=AD，求△ACD外接圆半径R的长.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知cos2B-cos2A=2sinBsinC.
（1）若B=C，求A；
（2）求的取值范围；
（3）设D是边BC上一点，若，，记△ABD，△ADC的面积分别为S1，S2，求的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】120（-1）
14.【答案】
15.【答案】；
±2．
16.【答案】解：（）∵在中，，
利用正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入上式并约去2R得：
，
而,
∴,
∴,
∵C为三角形内角，∴0°< C<180°,∴sinC≠0，
∴，即，
∴，
∵A为三角形内角，∴0°< A<180°,
∴．
（）若，的面积为，
则，
∴①，
又由余弦定理可得，
∴②，
由①②解得．
17.【答案】 3+2
18.【答案】
19.【答案】； （1，2）； ．
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