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2025-2026学年浙江省杭州市学军中学高二（下）月考数学试卷（一）（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共48分。
1.在曲线f（x）=ln（2x-1）+1上的点（1，1）处的切线方程为（　　）
A. x-2y+1=0 B. 2x-y-1=0 C. 2x+y-3=0 D. x+2y-3=0
2.已知数列{an}是等差数列，a3+a4=8，a5-2a2=5，则S10=（　　）
A. 60 B. 40 C. 80 D. 90
3.袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（　　）
A. B. C. D.
4.已知直线l：3x-4y+5=0，圆C：（x+2）2+（y-1）2+m-5=0，则“0＜m＜4”是“直线l与圆C相交”的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.现有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为a1，a2，a3，若a1，a2，a3这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（　　）
A. 32 B. 48 C. 54 D. 72
6.已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆O1的圆周上取一点A，在圆台下底面圆O2的圆周上取一点B，且O1A⊥O2B，则直线AB与平面O1O2A所成角的正弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.甲、乙两人玩某一游戏，第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为，每一局没有平局.规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束.则游戏结束时，甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（　　）
A. B. C. D.
8.若方程|lnx|=kx的三个根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）成等比数列，则公比为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 若随机变量ξ～B（10，0.4），η满足η=2ξ-2，则D（η）=7.6
B. 若随机变量ξ N（4，σ2），且P（ξ＜6）=0.8，则P（2＜ξ＜6）=0.6
C. 若回归方程为，则变量y与x成负相关
D. 线性回归分析可用决定系数R2判断模型拟合效果，R2越趋近于1，则拟合效果越好
10.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD，EC⊥平面ABCD，AD=CE=2，BC=CD=1，M、N分别为棱DE、CE上的动点，设，，
则（　　）
A. 当μ=0时，存在λ，使得MN∥平面ABE
B. 当μ=0时，存在λ，使得AN⊥BM
C. 当，且AN与BM相交时，
D. 三棱锥E-BCD的外接球在底面ABCD上的截痕长为
11.已知曲线C的方程为F（x,y）=0，集合T={（x,y）|F（x,y）=0}，若对任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1（y2-2）=x2y1成立，则称曲线C为α曲线.下列方程所表示的曲线为α曲线的是（　　）
A. x2+y2=5 B. x-y-1=0 C. y=lnx D. y=e-x-2
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.（x-2y）（2x-y）5的展开式中x2y4的系数为 .
13.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，线段BF的延长线与C交于点P，若PA=PO，则C的离心率为 .
14.若 x＞0，ex+1≥a[ln（ax）-1]，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共4小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时长 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10]
频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的2×2列联表：
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6小时 50
每周课外阅读时长低于6小时 80
合计 200
（1）根据已知条件补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；
（2）从每周课外阅读时长在[0，2）和[8，10]的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设X表示抽取的2人中每周课外阅读时长在[8，10]的人数，求X的分布列和数学期望.
附：.
P（χ2≥k） 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16.(本小题15分)
如图，在几何体ABCDEF中，CD∥EF，AD⊥DE，四边形ABCD是边长为1的正方形，，点G是棱BF上与B，F不重合的点.
（1）证明：平面ADE⊥平面BEF；
（2）若EF=3，且，求直线BE与平面CEG所成角的正弦值.
17.(本小题18分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点P（4，t）（t＞0）到F的距离为5.
（1）求p和t的值；
（2）A，B为C上两点，△PAB的重心在直线上.
①证明：直线AB的斜率为定值；
②设直线AB与x轴交于点Q，线段AB的中点为T，线段PQ的中点为R，过点P向直线TR作垂线，垂足为H.证明：点H在定圆上运动.
18.(本小题18分)
已知函数.
（1）当a=0时，求曲线在点（1，e）处的切线方程；
（2）当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个极小值点x1，x2（x1＜x2），且对任意满足条件的x1，x2，都有2x1+x2≥m恒成立，求符合条件的整数m的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】90
13.【答案】
14.【答案】（0，e2]
15.【答案】
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80
每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120
合计 90 110 200
学生的写作水平与每周课外阅读时长有关
X 0 1 2
P
E（X）=1.2
16.【答案】证明：由AD=DC，AE=CE，DE=DE，
得△ADE≌△CDE，所以∠ADE=∠CDE，
又AD⊥DE，所以CD⊥DE，
在正方形ABCD中，AD⊥CD，
因为CD∥EF，所以EF⊥DE，EF⊥AD，
又AD∩DE=D，AD，DE 平面ADE，
所以EF⊥平面ADE，
因为EF 平面BEF，
所以平面ADE⊥平面BEF
17.【答案】p=2，t=4 证明：①设A（x1，y1），B（x2，y2），
则△PAB的重心为，
由题意知，，则y1+y2=-8，
所以直线AB的斜率为定值；②因为直线AB的斜率不为零，
所以设直线AB的方程为x=-2y+n．设，，
联立，整理得y2+8y-4n=0，
所以，
设T（x3，y3）为AB的中点，
则：，
即T（n+8，-4），
直线AB与x轴交点Q（n，0），P（4，4），则PQ中点，
由于Δ=64+16n＞0，所以n＞-4，
所以n+12≠0，
直线TR的斜率：，
直线TR的方程：，整理得12x+（n+12）y-8n-48=0，
令x=-4，代入方程，解得y=8，
因此，直线TR经过定点N（-4，8），
因为P（4，4），PH⊥TR于H，
所以H在以PN为直径的定圆上
18.【答案】y=e 当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增 2
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