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2025-2026学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={（x,y）|y=2x}，B={（x,y）|y=3-x}，则A∩B=（　　）
A. {（1，2）} B. {（2，1）} C. {1，2} D. {1}
2.有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（　　）
A. 90 B. 120 C. 270 D. 720
3.已知函数，则y=f（x）的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
4.已知函数f（x）=2|x|+|x|，x∈[-1，2]，则f（x）的最大值与最小值之差为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中an=19-2n,则Sn取得最大值时n的值为（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6.若函数f（x）=x2-x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
7.已知A是双曲线的下顶点，直线y=t与C交于M，N两点，若存在t＞0，使得△AMN为等边三角形，则C的离心率的取值范围为（　　）
A. B. C. （1，2） D. （2，+∞）
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足B1P⊥D1E，则点B1和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（　　）
A. 该四位数是奇数的有108个
B. 该四位数能被5整除的有108个
C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个
D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142
10.已知复数z=（cosα+sinα）+（cosα-sinα）i，则下列说法正确的是（　　）
A. α∈（0，）时，复数对应的点在第一象限内
B. α∈（，）时，复数对应的点在第一象限内
C. 复数z的模的最大值为2
D. 复数z的模长为定值
11.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线C：（x2+y2）2=9（x2-y2）是双纽线，则下列结论正确的是（　　）
A. 曲线C的图像关于原点对称
B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D. 若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为 （用数字作答）.
13.已知椭圆，若直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 .
14.在△ABC中，若，则tanA的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7=a25=-49.
（1）求an与Sn；
（2）若，求{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其面积为S.已知.
（1）求A；
（2）点D满足，且CD=2AD，求.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为3的正方形，D为A1B1的中点，AD∩A1B=E，点F满足.
（1）求证：EF∥平面ACC1A1；
（2）若BC=BA1，，求平面A1C1E与平面EFC1夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知双曲线E：的离心率为，点A（1，0）在双曲线E上.
（1）求E的方程；
（2）已知直线，l交E于P，Q两点，
①是否存在直线满足AP⊥AQ，若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由；
②若m≥1，求△OPQ的面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax2（a∈R）.
（1）当时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，若函数f（x）有2个不同的零点x1，x2.
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：x1+x2＞4.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】-84
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】an=-2n+1，
16.【答案】
17.【答案】如图，连接A1C，
因为D为A1B1的中点，所以，
因为，所以，
所以，所以EF∥A1C，
因为EF 平面ACC1A1，A1C 平面ACC1A1，
所以EF∥平面ACC1A1
18.【答案】（1）x2-y2=1 （2）①不存在；②
19.【答案】单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间 （ⅰ）；（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，，x1＞0，x2＞0）
∴x1=lna+2lnx1，x2=lna+2lnx2，∴，则，
不妨设x2＞x1＞0，
要证x1+x2＞4，则需证，
∵x2＞x1＞0，∴，∴，则只需证，
令，则只需证t∈（0，1）时，恒成立，
令，
∴，
∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）=0，
∴当t∈（0，1）时，恒成立，
∴原不等式x1+x2＞4得证
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