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2025-2026学年江西省宜春三中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则a8=（　　）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 18
2.已知数列，则是这个数列的（　　）
A. 第23项 B. 第25项 C. 第24项 D. 第26项
3.函数f（x）=x2-1在区间[1，2]上的平均变化率为（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4.在数列{an}中，a1=2，，则a10=（　　）
A. -1 B. C. 2 D.
5.已知递增的等比数列{an}满足a6+a8=9，a3a11=8，则{an}的公比q=（　　）
A. 6 B. 3 C. D.
6.已知函数，数列{an}满足，则数列{an}的通项公式为（　　）
A. B. n+1 C. D. n（n+1）
7.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（　　）万元.（参考数据：1.027≈1.149，1.028≈1.172）
A. 5.3 B. 4.6 C. 7.8 D. 6
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a3=5，2an+1=an+2+an，若n∈N*，有恒成立，则实数t的最大值为（　　）
A. 3 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比q为（　　）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d,且S15＜S14＜S16，则下列说法正确的是（　　）
A. d＞0 B. d＜0
C. S30＞0 D. 当n=15时，Sn取得最小值
11.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为φ（n），则（　　）
A. B.
C. ln[φ（n）]+1＞0 D. φ（n）+φ（3n）＞2φ（2n）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}满足：a1=2，a2=1，an+1＜an.则数列{an}的通项公式可以是 .（写出一个符合要求的答案即可）
13.若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为 .
14.已知数列{an}满足，且λ-an≤0对 n∈N*恒成立，则λ的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=3，S5=35.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{|an|}的前n项和为Tn，求T10.
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足：a1=2，an+1-an=2n+2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn.
17.(本小题15分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）求m的值及{an}的通项公式；
（2）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
已知等差数列{an}满足an+an+1=2n+1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足，求{bn}的前2n项和T2n及其最小值.
19.(本小题17分)
已知数列{an}中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成{an}的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列{an}的完美子列.
（1）求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列；
（2）将数列1，2，3，…，n-1，n,n+1，…，4n+2（n∈N*）的所有完美子列的个数记为bn，求数列{bn}的通项公式；
（3）证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】an=-n+3（答案不唯一）
13.【答案】300
14.【答案】（-∞，1]
15.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d,
∵a5=3，S5=35，
∴，
解得a1=11，d=-2，
故an=a1+（n-1）d=13-2n.
（Ⅱ）∵an=-2n+13，
则数列{an}为递减数列，
又，
∴T10=|a1|+|a2|+|a3|+ +|a10|=a1+a2+ +a6-（a7+a8+a9+a10）=S6-（S10-S6）=2S6-S10=52，
即T10=52．
16.【答案】an=n2+n，n∈N* Sn=
17.【答案】
18.【答案】an=n T2n=2n2+n+22n+1-2，最小值为T2=9
19.【答案】2，3，5；2，4，6；2，5，7；3，4，7 设等比数列{an}的公比为q（q∈Z，q≠0），易知an≠0，
①当|q|=1时，若q=1，则{an}为非零常数列，即an=a1≠0，取出3项后，
由于a1≠2a1，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列；若q=-1，则{an}为a1，-a1，a1，-a1， ，易知其亦不存在完美子列；②当|q|≥2时，假设{an}存在完美子列．
（i）若q≥2，当a1＞0时，设{an}的一个完美子列为am，as，at（t＞s＞m），
则0＜am＜as＜at，且am+as=at，
但事实上at≥2as＞am+as，所以上述等式不可能成立，此时{an}不存在完美子列；当a1＜0时，此时{an}中项的绝对值随n的增大逐渐增大，同理{an}不存在完美子列．
（ii）若q≤-2，由①知不需要讨论{an}的子列中的项全为正数或全为负数的子列，
当{an}的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为ap，ar，aq，
其中ap＜0，aq＞ar＞0，（点拨：当q≤-2时，无论{an}的首项是正是负，
数列{an}中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0的大小关系），
此时应有aq+ap=ar，|aq|＞|ap|，则aq=ar-ap，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数）．
若|ap|＞|ar|，则aq≥2|ap|＞|ap|+|ar|=ar-ap，
若|ap|＜|ar|，则aq≥2|ar|＞|ap|+|ar|=ar-ap，
所以等式aq=ar-ap不可能成立；同理两负一正的情况也不成立．所以{an}不存在完美子列．
综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列
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