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2025-2026学年天津市西青区杨柳青一中高二（下）第一次段考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A. B.
C. D. （x2cosx）′=-2xsinx
2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=sin2x,则=（　　）
A. B. C. -1 D. 1（1
3.5人排成一排，甲与乙不相邻，不同排法数是（　　）
A. 72 B. 60 C. 48 D. 36
4.已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（　　）
A. 2 B. C. - D. -2
5.函数f（x）的导函数f′（x），满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）-lnx，则f′（2）的值为（　　）
A. B. - C. D. -
6.已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x-2）f'（x）＞0的解集为（　　）
A. （-∞，-2）∪（1，+∞）
B. （-∞，-2）∪（1，2）
C. （-∞，1）∪（2，+∞）
D. （-1，1）∪（2，+∞）
7.将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（　　）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
9.已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）=e,且对任意的x满足f'（x）-f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（　　）
A. （-∞，1） B. （-∞，0） C. （0，+∞） D. （1，+∞）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若，则实数x的值为 .
11.函数f（x）=2lnx-x的单调增区间为 .
12.已知x=1是函数f（x）=x3-mx2+（m2-6）x-1的一个极值点，则m= ．
13.由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数有 个．（用数字作答）
14.已知在[m，m+1]上不单调，则实数m的取值范围是 ．
15.已知定义在R上的函数，若函数k（x）=f（x）-ax恰有2个零点，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
已知f（x）=-x3+3x2+9x+a,
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数y=f（x）在区间[0，4]的最大值和最小值；
（3）若方程f（x）=0有3个不同的实根，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，M是PA的中点，平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2，AB=1.
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求直线PA与平面CMB所成角的正弦值；
（3）求平面PAB与平面CMB夹角的大小.

18.(本小题15分)
已知等差数列{an}前n项和为Sn（n∈N+），数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若，设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段AB的垂直平分线与AB交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果∠MOP=2∠MQP，求k的值.
20.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx,g（x）=（a+1）x-a.
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；
（2）若存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥-x2+ax-3成立，求a的取值范围；
（3）若不等式h（x）≤（x-a-2）e（x-1）+a对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】2或6
11.【答案】（0，2）
12.【答案】-1
13.【答案】52
14.【答案】（1，2）∪（3，4）
15.【答案】
16.【答案】单调递减区间（-∞，-1）和（3，+∞）；单调递增区间（-1，3） 最大值27+a，最小值a （-27，5）
17.【答案】解：（1）证明：
AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，
AD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
则PD⊥AD，PD⊥CD，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
CD=3，AD=PD=2，
AB=1，M是PA的中点，
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，3，0），
P（0，0，2），M（1，0，1），B（2，1，0），
故，
则，
所以，即PA⊥CD；
（2）C（0，3，0），B（2，1，0），
P（0，0，2），M（1，0，1），
，
，
设平面CMB的法向量，
则，即，
令y=1，则x=1，z=2，
故平面CMB的一个法向量为，
，
设直线PA与平面CMB所成的角为θ，
，
则
，
所以PA与平面CMB所成角的正弦值为；
（3）B（2，1，0），P（0，0，2），A（2，0，0），
，
设平面PAB的法向量，
则，即，
不妨令a=1，则c=1，
故平面PAB的一个法向量为，
，
设平面PAB与平面CMB夹角为α，则α为锐角，
∴
，
∴，
故平面PAB与平面CMB夹角为．
18.【答案】解：（1）设公差为d的等差数列{an}前n项和为Sn（n∈N+），数列{bn}是以公比为q的等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，
所以，解得；
故an=2n+1，．
（2）由（1）得：，整理得；
所以+（5 22+9 24+...+（4n+1） 22n），
令，①；
，②；
①-②得：，
整理得，
故，
整理得．
19.【答案】解：（1）因为椭圆C的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，
所以，
解得a=2，b=1，，
则椭圆C的方程为；
（2）联立，消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，
此时Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)＞0，
解得4k2-m2+1＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
所以，
则，，
所以直线PQ的方程为，
令x=0，解得，即，
因为M（0，m），所以点N，P在原点两侧，
因为∠MOP=2∠MQP，所以∠PQO=∠OPQ，
所以|OP|=|OQ|，
因为，，
所以（km≠0），
整理得16k2+1=9，
所以k=．
20.【答案】解：（1）由题意可得h（x）=xlnx-（a+1）x+a,x∈（0，+∞），
所以h′（x）=lnx-a,
令h′（x）=0，得x=ea，
所以在（0，ea）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
在（ea，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）极小值=h（ea）=a-ea，无极大值．
（2）由题意知2xlnx≥-x2+ax-3，即a≤2lnx+x+，
因为存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥-x2+ax-3成立，
所以只需a≤2lnx+x+的最大值，
设h（x）=2lnx+x+，
h′（x）=+1-=，
所以在[1，e]上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）max=h（e）=2+e+，
所以a≤2+e+，
所以a的取值范围为（-∞，2+e+]．
（3）由已知得xlnx-（a+1）x≤（x-a-2）ex-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，
即（lnx-a-1）elnx≤[（x-1）-a-1]ex-1，对任意x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=（x-a-1）ex，
则g（lnx）≤g（x-1）对任意x∈[1，+∞）恒成立，
下面证明：0≤lnx≤x-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，
令h（x）=lnx-（x-1），x∈[1，+∞），
h′（x）=≤0在[1，+∞）恒成立，当且仅当x=1时，取等号，
所以0≤lnx≤x-1，x∈[1，+∞），
所以g（lnx）≤g（x-1）对任意x∈[1，+∞）恒成立，
只需g（x）在[0，+∞）上恒成立，
所以a≤x在[0，+∞）上恒成立，
所以a≤0，
所以a的取值范围为（-∞，0]．
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