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河南开封清华中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A＝{x|lg x＜1}，B＝{x|x＞2}，则A∪B＝
A. (2，+∞) B. (2，10) C. (0，10) D. (0，+∞)
2.设复数z1，z2在复平面内的点关于实轴对称，z1=1+i，则=（　　）
A. -i B. i C. -1 D. 1
3.在数列中，，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 3
4.若直线y=ax+a是曲线y=的一条切线,则a=( )
A. -e B. C. e D.
5.现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（　　）
A. 15 B. 30 C. 31 D. 32
6.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在、、三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
8.已知函数的定义域为 R，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是( )
A. 5名工人各自在3天中选择一天休息,不同方法种数是
B. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环比赛,冠、亚军的可能性一共有12种
C. 的展开式的常数项为=
D. ++++=
10.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇数 B. 的最大值为7
C. 不存在，使得是偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.的展开式中常数项为 .（用数字作答）
14.如图，在正方体中，为的中点，从除外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与构成三角形，则能构成 个三角形．从这些三角形中随机选取一个三角形，恰好是以为顶角顶点的等腰三角形的概率为 ．（均用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）求值：.
（2）解方程：.
（3）求不等式的解集.
16.(本小题15分)
在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，侧面底面ABCD．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数.
(1)若时，曲线与轴相切，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
18.(本小题17分)
已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、．
(1)求出椭圆的标准方程；
(2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形．
①求证：直线的斜率为定值；
②求弦长的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若只有一个零点，求的取值范围；
(3)设，若恒成立，求的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】 /
13.【答案】
14.【答案】170 ；
15.【答案】24 x=4 {3，4，5}
16.【答案】解：（1）证明：由底面ABCD为正方形，得，
又底面ABCD，侧面底面ABCD，侧面底面ABCD，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）法1：由（1）知平面，又，则平面，
如图以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直接坐标系，
由，，
得，，
则到的距离为，
故，，，
设平面的法向量为，
，
不妨取，得y=1，z=，
故平面的一个法向量为，
侧面底面ABCD，
故平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
，
所以二面角的平面角的正弦值；
法2：在平行六面体中，连接，与交于O点，连接，
由，，得是菱形，且是正三角形，
则，
由（1）知平面，而，则平面，
又平面平面，所以平面，
又平面，则，
因为平面，所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
在中，，则斜边，
所以，
即二面角的平面角的正弦值.

17.【答案】解：（1）由题意得，
因为曲线与轴相切，所以设切点为，
则，解得，
又因为，所以，解得.
（2）由题意得的定义域为，，
当时，恒成立，在上为增函数，
当时，若，，在上为减函数，
若，，在上为增函数；
综上，当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数，在上为增函数
（3）方法一：由题意得当时，恒成立，
等价于恒成立，得到，
令，则，解得，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
则，故.
方法二：当时，恒成立，等价于恒成立
由（2）可知：①当时，在上为增函数，
，则，无解
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
得到，解得.

18.【答案】解：（1）由椭圆定义可得
，
因为，所以，则，
由题，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①由题可得，从而直线的斜率必定存在，
设、，设直线的方程为，
联立，可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
因为，
即，
即
，
整理可得，
即，
又因为直线不过点，所以，所以，即；
②由①可知，，由得，
因为，所以，因此的取值范围是.

19.【答案】解：（1），
当时，，所以在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减．
（2）令，则，
设，由题意得只有一个根，
则，令，解得，
当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以，又当时，，画出简图，如图所示，
因为只有一个根，所以或．
（3）由，
令，则，故，
当时，，
以下证明，设，
则，
令，则，令，解得，
当，，则在单调递减，
当，，则在单调递增，
所以，即，
所以时，，则在单调递减，
所以时，，则在单调递增，
所以，
综上所述，实数．

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