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2026届甘肃陇南市成县第一中学高三三诊模拟模拟考试
数学试题
一、单选题
1．已知命题，命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
2．已知实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量的分布列为
1 2 3
0.2 0.5
则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列结论中错误的是（ ）
A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好
B．样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
7．Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是单调减函数 B．
C．函数的最大值是 D．
8．下列说法中错误的是（ ）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．两个随机变量相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B．用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
C．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
D．在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关”
10．函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．零点个数大于1
11．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为_________.
13．设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________．
14．在中，，，则的最小值为_____．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
16．近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
空气质量 锻炼人次
优良 7 26 37
轻度污染 6 7 8
中度污染 7 2 0
(1)求空气质量优良的概率的估计值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良
污染
合计
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，的面积为1，求边的值.
18．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同．
(1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；
(2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大．
19．已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．
(1)当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程．
(2)设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于．
①求双曲线C的离心率e的取值范围；
②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上．
《2026届甘肃陇南市成县第一中学高三三诊模拟模拟考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B D C B C BCD ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
解析：对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题；
对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题；
综上可得：命题与命题均为真命题.
故选：C
2．B
解析：因为实数，满足，
对于A：取，此时，命题不成立，故A错误；
对于B：由，所以，
当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C：，所以不存在，使成立，故C错误；
对于D：由可得，所以，
故不存在，使得，故D错误．
3．D
解析：因为，，所以，，
由，所以，解得．
4．B
解析：如图，取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为，
所以平面，则，
设为正三角形的中心，则，
因为，所以，又，
所以，
所以，则，即为三棱锥外接球的球心，
因为，所以，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为.
5．D
解析：因为随机变量的分布列可得，所以，
所以，所以，A选项正确；C选项正确；
，
所以，B选项正确，D选项错误.
故选：D.
6．C
解析：对于A选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B选项，样本数据，，，的方差为8，
则数据，，，的方差为，故B正确；
对于C选项，随机变量服从正态分布，均值，
正态曲线的对称轴为，
，，
由对称性知，，，故C错误；
对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得，
，解得，故D正确.
故选：C
7．B
解析：对于选项A：因为的定义域为，且，
所以函数在定义域内单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最大值是，故C错误；
对于选项D：因为，
所以，故D错误；
故选：B.
8．C
解析：对于A，因为，所以第80百分位数是8，故A正确；
对于B，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
对于C，两个随机变量相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故C错误；
对于D，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故D正确.
故选：C.
9．BCD
解析：对于A，两个变量的样本相关系数为r，则越大，线性相关程度越强，故A错误；
对于B，决定系数越接近1，值越大，残差平方和越接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，在独立性检验中，将“分类变量X与Y独立”作为零假设，是因为在此假设下可以计算出期望频数，从而构造检验统计量进行检验，故D正确．
10．ACD
解析：对于A项，令，由已知可得，，解得.
令，由已知可得，，
解得.故A正确；
对于B项，令，代入已知条件可得，
.
又，所以有.故B错误；
对于C项，令，代入已知条件可得，
.
因为，
所以有，
所以，是奇函数.故C正确；
对于D项，令，代入已知有.
.
令，由可得，
.
令，，由可得，
.
因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得.
根据函数为奇函数，可知.
所以，函数至少存在三个零点.故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
解析：对于选项A，由，，成等差数列，得，即，
又，故，得，
所以等比数列的公比为，选项A正确；
对于选项B，由，所以，得，所以，选项B错误；
对于选项C，，选项C正确；
对于选项D，，选项D正确.
12．
解析：如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，
连接，则，，由，则，
又、平面，故，，则，
由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，
所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，
当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小，
取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，
则直线的方程为：，即，
抛物线的方程为，则，
由题意，令，得，代入，得，
所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为：
，因为，
所以，
所以三棱锥体积的最小值为.
故答案为：.
13．
解析：由题可得，，
直线的斜率：
直线的方程：，
联立:，化简得：，
解得：或，
所以，
则，所以直线的方程为：，
联立:，化简得：，解得：或，
所以，则
14．/
解析：由可得，
两边平方得：，又，
所以，即，
所以，所以，
由，根据正弦定理角化边得，所以，
所以，
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）由题意，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
16．(1)
(2)列联表见解析
(3)能
解析：（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；
（2）列联表为：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良 33 37 70
污染 22 8 30
合计 55 45 100
（3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
根据表中数据，得
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17．(1)
(2)
解析：（1）中，，所以
所以
又，所以，
又因为，所以.
（2）因为，
由余弦定理，
将，代入解得，
所以.
18．(1)
(2)该球取自2号箱的可能性最大
解析：（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”，
则，，
可得
，故取到红球的概率为.
（2）根据（1）中数据，
由贝叶斯公式知；
；
，
因为，所以该球取自2号箱的可能性最大．
19．(1)
(2)①；②点在定直线上.
解析：（1）由题意知，当直线的斜率为2时与一条渐近线平行，则.
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由题意，双曲线的标准方程为.
因为直线的斜率不为0，故可设直线的方程为:，
将其代入，得，
整理得：（）.
设，，则，.
，.
所以.
由.
①所以，又，所以双曲线离心率的取值范围是.
②当双曲线离心率最大时，.
此时.，.
直线的方程：，
直线的方程：.
由.
化简得：.
由，.
所以.
由.
即直线与直线的交点在定直线上.

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