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浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形 素养评估测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往.下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知点和点关于原点对称，则 （　　）
A．1 B． C．3 D．
4．下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
5． 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （　　)
A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m
6．菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（　　）
A．邻边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
7．如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，在 ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
9．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是　 　．（写出一种即可）
12．如图，在中，是的平分线，，，则　 　．
13．点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转　 　°后能与原来的图案互相重合．
14．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，有下列条件：①OA=OC；②AD//BC；③∠BAC=∠ACD；④AB=CD，从中选择两个条件：　 　（填序号），使得四边形ABCD是平行四边形。
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，B'C'交AB于点E，则B'E=　 　．
16．如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为　 　.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17． 如图， 在 中，E是 CD的中点，AE的延长线与 BC的延长线相交于点 F.
求证： CF=BC.
18． 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）写出，，三个点的坐标．
19．已知一个正多边形的内角和等于，求它的每个外角的度数．
20．如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
21．如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
22．阅读理解：小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为 而 的解为 而 于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程 ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a，则称之为“奇异方程”.请和小东一起进行以下探究：
（1）初步运用：
试说明方程 是“奇异方程”.
（2）若a=-1，有符合要求的“奇异方程”吗 若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（3）变式拓展：
若关于x的方程 ax+b=0(a≠0)为奇异方程，解关于y的方程：a(a-b)y+
23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
24．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，然后由旋转的性质求出，再次根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，最后即可求得的度数．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得，，再代入代数式即可求出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、用反证法证明“a>b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF，
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m，
∴∠ADC=180°-2m，
故答案为：C.
【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。
6．【答案】B
【解析】【解答】∵菱形、矩形、正方形都属于平行四边形，而平行四边形的性质中明确对角相等；
A. 邻边相等：矩形的邻边不一定相等（仅正方形这一特殊矩形满足），故A不符合；
B. 对角相等：三种图形均为平行四边形，平行四边形对角必然相等，故B符合；
C. 对角线互相垂直：矩形的对角线不一定垂直（仅正方形满足），故C不符合；
D. 对角线相等：菱形的对角线不一定相等（仅正方形满足），故D不符合；
故答案为：B
【分析】先回忆平行四边形的核心性质，再结合每种图形的特殊性质对选项进行排除。平行四边形的对角相等是基础性质，而邻边相等、对角线垂直是菱形的特殊性质，对角线相等是矩形的特殊性质，这些特殊性质仅适用于部分图形，由此可筛选出共同性质。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：连接CM
∵D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE为△CMN的中位线，
∴DE=CM.
当CM⊥AB时，CM取的最小值，此时DE也就取得最小值.
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10.
∵S△ABC=AB·CM=AC·BC，
∴CM=，
∴DE=CM=，即DE的最小值为.
故答案为：B.
【分析】连接CM，由题意可得DE为△CMN的中位线，则DE=CM，根据垂线段最短的性质可得：当CM⊥AB时，CM取的最小值，此时DE也就取得最小值，由勾股定理可得AB的值，根据等面积法可得CM，进而不难求出DE的最小值.
8．【答案】A
9．【答案】A
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
11．【答案】4（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，
∴为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌．
∵正方形的一个内角的度数为，，
∴只用正方形可以进行平面镶嵌，
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角求解．
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，，再证出，利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
13．【答案】72
【解析】【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图案重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案为：72．
【分析】由正n边形中心角度数为求出∠AOE的度数，进而根据旋转对称图形性质可得这个图形至少旋转∠AOE才能与原图案重合，可得答案.
14．【答案】②③（答案不唯一）
【解析】【解答】解：②③，
证明：
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
①②，
证明：
在△ADO和△CBO中，
∴ △ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形；
①③，
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
③④，
证明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
故答案为：②③或①②或①③或③④.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6，
则∠BAC=60°，AC=3，BC=3，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，
则∠C'AC=15°，AC= AC'=3，B'C'=BC=3，
∴∠C'AE=45°，
而∠AC'E=90°，故△AC'E是等腰直角三角形，
∴AC=AC'=EC'=3
∴B'E= B'C'- EC'=33．
故答案为：33．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得∠BAC=60°，AC=3，根据勾股定理可得BC，再根据旋转性质可得∠C'AC=15°，AC= AC'=3，B'C'=BC=3，则∠C'AE=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△AC'E是等腰直角三角形，则AC=AC'=EC'=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】或
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE.
在△ADE 和△FCE 中
∴△ADE≌△FCE (AAS)，
∴AD=CF，
∴CF=BC.
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠DAE=∠F，再证明△ADE≌△FCE，最后由全等三角形的对应边相等解题即可.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，．
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
19．【答案】解：设该正多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
该正多边形的每个外角的度数为．
【解析】【分析】先设该正多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，求出该正多边形的边数，再根据多边形的外角和即可求解．
20．【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.

【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
22．【答案】（1）解：∵方程的解为 且 ∴方程 是“奇异方程”
（2）解：若a=-1，没有符合要求的“奇异方程”.理由如下：当a=-1时，方程-x+b=0的解为x=b，但b-(-1)=b+1≠b.∴若a=-1，没有符合要求的“奇异方程”
（3）解：∵关于x的方程 ax+b=0(a≠0)为奇异方程，∴方程 ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a.
把x=b-a代入原方程，得(b-a)·a+b=0，∴a2-ab=b.
【解析】【分析】 （1）解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可；
（2）根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明；
（3）利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到a，b的关系式，利用a，b的关系式通过整体代入化简，即可解关于y的方程
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；
（2）根据平行四边形的性质可得 AD∥BC，AD=BC，进而得出DE=BF，即可得证．
24．【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．

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