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第四章 平行四边形 章节测试 浙教版数学八年级下册
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，RtABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将RtABC绕着点C逆时针旋转得RtEDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（　　）
A．40° B．55° C．60° D．65°
3．点关于原点对称的点是，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
5． 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （　　)
A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m
6．如图，在中，AC，BD相交于点O，若，则线段AO的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．16
7．如图，在矩形ABCD中，，点是CD的中点，连接AE，将沿直线AE折叠，使点落在点处，则线段CF的长度是（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在□ABCD中，AB＝2BC，BEAD于E，F为CD中点，设，，则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，在正五边形中，连接，则的度数为　 　．
12．平行四边形中，，则　 　．
13．如图，这个图案绕着它的中心旋转α°（0＜α＜360）后能够与它本身完全重合，则α的最小值为　 　 .
14．在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是　 　．
15．如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为　 　．
16．如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为　 　.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17． 如图， 在 中，E是 CD的中点，AE的延长线与 BC的延长线相交于点 F.
求证： CF=BC.
18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）在方格纸中作出与关于原点对称的；
（2）写出点，点，点的坐标．
（3）的面积是　 　．
19．一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数．
20．如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
21．如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
22．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
23．在中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF.
（1） 求证： 四边形DEBF是平行四边形.
（2） 求证： .
24．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确.
故选：D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念“轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合”对各选项分析判断后利用排除法求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝50°，
∵将Rt△ABC绕着点C逆时针旋转得Rt△EDC，
∴∠ECD＝∠ACB＝50°，CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣50°）＝65°，
故选：D．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ACB＝50°，再根据旋转性质可得∠ECD＝∠ACB＝50°，CB＝CD，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点关于原点对称的点是，
∴，，
∴，
故选：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式，结合有理数的加法即可求出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、用反证法证明“a>b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF，
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m，
∴∠ADC=180°-2m，
故答案为：C.
【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= CO=AC= 4，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得 AO = CO=AC，即可求解 .
7．【答案】C
【解析】【解答】解：连接DF，则，垂足记为M，则M是DF中点，
又点E是DC中点，故ME是FC边中位线，
，
由，得：，
勾股定理得：
故答案为：C
【分析】连接DF，则，垂足记为M，则M是DF中点，根据三角形中位线定理可得，根据三角形面积建立方程，解方程可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，，
A、B、C选项结论成立，不符合题意，
无法证明，
D选项不一定成立，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH，
则AB=2BH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥
CD，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFH，
∵F为CD中点，
∴CD=2CF， DF=CF，
∴CF=BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∴FH∥BC∥AD，
∵AB=2BC，
∴CD=2BC，
∴CF=BC，
∴平行四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC =∠BFH，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC， ∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG(AAS)，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，AD∥BC，
∴BE⊥BC，
∴∠EBG=90°，
∵FH∥AD， BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH =∠EFH =∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，
即β=3α，故选： C.
【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH， 证四边形BCFH是菱形， 得 再证 ， 得 进而证 ，然后由等腰三角形的性质得 即可得出结论.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和可得∠C=∠ABC=108°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，而，
∴，
故答案为．
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边互相平行，因此同旁内角互补，即，将代入该等式，计算即可求出的度数。
13．【答案】90°
【解析】【解答】解：这个图案可以被平分成4部分，每部分被分成的圆心角是90°，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合.
故答案为：90°.
【分析】这个图案可以被平分成4部分，每部分被分成的圆心角是90°，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合.
14．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】【解答】解：由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，由作图可知，
可得：，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定和作图进行判断即可．
15．【答案】
【解析】【解答】解：由题可知：，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点A作于点H，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。由旋转可知：，，；
根据等腰直角三角形判定：且，所以为等腰直角三角形，斜边。
添加辅助线：过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，可得。
最后利用勾股定理计算的长度。
16．【答案】或
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE.
在△ADE 和△FCE 中
∴△ADE≌△FCE (AAS)，
∴AD=CF，
∴CF=BC.
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠DAE=∠F，再证明△ADE≌△FCE，最后由全等三角形的对应边相等解题即可.
18．【答案】（1）解：
如图，即为所求.
（2）解：∵ 点的坐标为，
∴B的坐标为（5，-4）A的坐标为（1，-4），
∵与关于原点对称，
∴点A1（-1，4），点B1（-5，4），点C1（-4，1）.
（3）
【解析】【解答】（3）S△A1B1C1=S△ABC==6.
故答案为：6.
【分析】（1）根据中心对称的相关性质作图即可.
（2）点P(x，y)关于原点对称的点P'的坐标为（-x，-y）.
（3）根据轴对称性质知，对称变换前后两图形全等，从而计算原图形面积即为对称后图形面积.
19．【答案】解：设多边形的边数是n，则
(n－2)·180－360＝1 260.解得n＝11.
答：它的边数为11.
【解析】【解答】设多边形的边数是n，再根据多边形内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.

【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
22．【答案】有错误．改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，
∴∠B=∠A=45° ，这与∠A≠45°矛盾，
∴AC= BC不成立，∴AC≠BC．
【解析】【分析】 反证法的一般步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，正确的应从假设出发，把假设AC=BC当做已知条件，经过推理论证，得出∠B=∠A=45°与已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，.
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠AED=∠BFC
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，进而即可证明四边形DEBF是平行四边形；
(2)由平行四边形的性质得AD=CB，∠A=∠C，再根据SAS证明△ADE≌△CBF，即可求解.
24．【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．

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