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山西大同市煤矿第一中学校2025-2026学年度第二学期高一年级4月月考数学试题
一、单选题
1．设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ）
A．8 B．12 C．22 D．24
8．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．
B．
C．与的夹角可能为
D．向量与不可能垂直
10．的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是锐角三角形
C．若，则外接圆半径为4
D．的最大内角是最小内角的2倍
11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，，则面积的最大值为
D．若，则
三、填空题
12．已知点，，若，则点的坐标为________．
13．已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．
14．如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则__________．
四、解答题
15．已知向量
(1)求;
(2)若向量，试用表示；
(3)若 求实数k的值.
16．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求边上的高.
17．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若的面积为．求的周长．
18．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
(1)求的值；
(2)若为线段上任意一点，求的取值范围．
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
(3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
2．C
【详解】如图，在平行四边形中，且，
A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：由，得，故C错误；
D：，故D正确.
故选：C
3．C
【详解】解：若，
则，即，
向量，，
则，解得
故选：C
4．B
【详解】解：中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选：B．
5．C
【详解】由，得，而，，
由余弦定理得（米）.
故选：C
6．D
【详解】已知，移项可得，
因为，所以，
对两边同时平方可得，
根据完全平方公式则，
又因为，，所以可化为，
由，移项可得，则，
根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，
则.
故选：D.
7．C
【详解】易知：，，且，.
由.
故选：C
8．B
【详解】可设，，，
则.
可设：，则
.
故选：B
9．AD
【详解】对于A:因为，所以，故A正确.
对于B:因为，所以,
当时, ，故B错误.
对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误.
对于D:因为
所以,
令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【详解】设，，.
将这三个式子相加可得：，即.
用分别减去，，，可得：
，，.
所以.
根据正弦定理（为外接圆半径），
可得，故选项A正确.
因为最大，所以角最大.
根据余弦定理，将，，代入可得：
，所以角为锐角.
因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确.
已知，由，可得，则.
由正弦定理，，可得.
所以，则，故选项C错误.
因为最小，所以角最小.
.
，而，所以.
因为，是三角形内角，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
11．BC
【详解】对于A，由及正弦定理得，即，
则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误；
对于B，由，得，则是的最大内角，
又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确；
对于C，由，及余弦定理得，
当且仅当时取等号，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，则，即，D错误.
故选：BC
12．
【详解】设点的坐标为，
因为点，，
则，
又，
所以，
所以，则的坐标为.
故答案为：.
13．
【详解】由题意可得在上的投影向量为.
故答案为：.
14．3
【详解】如图，连接AO，因三点共线，且点是边上靠近的三等分点，
则.
又注意到三点共线，
则，
又，则，
则，由平面向量基本定理，
可得.
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以，
所以.
（2）由题可知与不共线，故设()，
即，
所以，解得，．
因此.
（3）由题意得．
因为，
所以，
解得.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，，即，
因，故,即是锐角，故；
（2）
如图，由余弦定理，，
知角是锐角，则，
作于点，在中，,
即边上的高是.
17．(1)
(2)
【详解】（1）在中，由，得，
则，整理得，
而，则，又，
所以.
（2）由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
（2）解：由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数m的取值范围为.

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