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2026年舟山中学期中学科素养监测数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场 座位号及准考证号并核对条形码信息.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,4,5}，集合B={1,3,5,7}，则(CUA)∩(CUB)=（ ）
A． B． C． D．
2．若，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是定义在上的函数，，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
5．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A．E，F，G，H四点共面
B．与是异面直线
C．，，三线共点
D．
7．函数的部分图象可能是（ ）
A． B．C． D．
8．枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则
C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是，最小值是 B．两个相邻的对称轴之间的距离为
C．的图象关于点对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ）
A．截面是平行四边形 B．若，则
C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____.
13．已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______．
14．已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______．
四 解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若，求函数的最大值．
16．已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为．
(1)求函数的解析式及其对称轴；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
17．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，函数；
（i）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.
（ii）讨论的零点个数.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
(1)设平面平面，证明：；
(2)证明：；
(3)线段上是否存在点M，使得平面 若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
19．若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有或成立，则称和为一对相关函数．
(1)判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；
(2)已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围；
(3)小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意均有．”请判断小菲说法的正误并进行证明．
第1页 共4页 第2页 共4页
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参考答案
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D B D B B
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 1 2 3
答案 ABD AC AD
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．
【解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角，
因为，，
在中，由余弦定理得，
所以，即二面角的大小为.
13．/
【解】由正弦定理，
，
代入得：
，
由余弦定理得，
，
．
14．
【解】因为，
当且仅当时，取得最大值，，
当且仅当时，取得最小值2，所以．
又，所以，则，，．
四 解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．【解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5，
可设二次函数，
又因为，所以，
即二次函数；
（2）由（1）知二次函数，
当，有，此时的最大值，
当时，则，此时在上单调递增，
即的最大值，
当时，则，此时在上单调递减，
即的最大值，
综上可得：．
16．【解】（1）由相邻两个对称中心之间的距离为，得，解得.
又，，所以.
所以.
令，，解得，，
所以函数的对称轴为，.
（2）不等式可化为，即.
由正弦函数的性质得，，，
解得，，
所以不等式的解集为，.
（3）当时，，所以.
令，则，令.
当时，每个对应2个不同的，当或时，每个对应1个，
所以关于的方程在上有四个不相等的实数根，等价于在上有两个不等实根.
所以，解得，所以.
故实数m的取值范围为.
17．【解】（1）由，根据向量平行的坐标条件： ，
展开整理得：，
（2）（i）当 时，，.
由,
令，由得，且，
代入得：,
令，该二次函数的对称轴为，定义域为，开口向下，
所以最小值在处取得，此时，结合，
得，则，，
即，设单位向量，
则由，则，又由，
联立解得或，
即或；
（ii）的零点满足，代入得，
解得或，
当时，，在内有2个不同解，即和；
当 时，，因为，
所以只有唯一解；
综上，共3个零点.
18【解】（1）因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.
19．【解】（1）函数，，中有3对相关函数，
函数与是相关函数对，函数与是相关函数对，函数与是相关函数对；
若与不为相关函数对，则且，
则，所以只要即可，
当，时，
，
所以函数与是相关函数对；
当，时，
，
所以函数与是相关函数对；
当，时，
，
所以函数与是相关函数对；
（2）因为与为相关函数对，
所以，
所以恒成立，所以，
又因为，因为 所以，
所以；
（3）小菲说法正确，
假设对任意正整数，都存在，均有，
对任意，有，，
又函数与为相关函数对，
则①若，则；
②若，则，
由①②知：，
由，将其分为很多个子区间，
如，，，……
则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，
故存在正整数，对任意，均有．
答案第1页，共2页

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