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2025-2026学年度八年级下学期数学期中考试试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2026 B．x≥2026 C．x≤2026 D．x＝2026
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列结论中错误的是（　　）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
4．下列说法中错误的是（　　）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，若△CDE的周长是12，则 ABCD的周长为（　　）
A．22 B．24 C．32 D．44
8．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m．
A． B． C．6 D．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AD的垂直平分线交AC于点F，已知BD＝5，BE＝4，AB＝10，则CF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，AD＝3，则S△GFI＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．请写出的一个同类二次根式　 　 ．
12．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是　 　 边形．
13．已知x，y为实数，且，则yx的平方根为　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，BD＝6cm，AB＝12cm，那么△ABD的面积是 　 　 cm2．
15．在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD是BC边上的高，AD＝12，则BC＝　 　 ．
16．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝HE，其中正确的有 　 　 ．（把正确结论的序号都填上）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算题：
（1）263；
（2）||﹣（4﹣π）0（．
18．（8分）已知，，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
19．（8分）如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
20．（8分）八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小亮的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）小红认为：想让风筝沿CD方向下降7米，应该往回收线7米．你同意她的说法吗？请说明理由．
21．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB交AB于点F，OG⊥AB交AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AB＝20，OG＝8，求BG的长．
22．（10分）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，
第2式，
第3式，
第4式．

（1）根据规律填空：第5式　 　 ；
（2）若，求n的值；
（3）类比上述规律，根据平方差公式化简：　 　 ．
23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
24．（12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　 　 ，数量关系为 　 　 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
（1）a2
18. 8 ﹣b
2 （2）a2﹣3ab+b2 21. 9 1
姓 名：
准考证号：
贴 条 形 码 区
缺考标记，考生禁填！ 由监考老师填涂。
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的 2
正确填涂
填 注 姓名、准考证号。
意 2. 选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题部分必须使用 0.5 毫米的黑色 涂
错误填涂 事 签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 样 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
例 √ × 项 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 保持答题卷卷面清洁，不折叠，不破损。
19. 8
一、选择题 (本大题共10题，每小题3分，共30分)
██
██
██
██
██
██
██
22. 10 (1)
二、填空题 (本大题共5题，每小题3分，共18分)
11. . 12. .
13. . 14. .
20. 8
15. 16. 2
（1）
8 72
17. 6 计算： 1 （1）2√12 6√ +3 48 3 √ （2）
3
1
（ ） 3 12 | √ |﹣（4﹣π）0 √24 ÷ √8 +（ )
4
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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23. 11 24. 12
（2）
1
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。]
（1）① ，
．
②
2
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B C A B B B C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【答案】B
【解答】解：二次根式有意义，则x﹣2026≥0，
解得：x≥2026．
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：A、的被开方数30＝2×3×5，不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意．
故选：A．
3．【答案】A
【解答】解：A、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，说法错误，故符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形，说法正确，故不符合题意；
C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形，说法正确，故不符合题意；
D、如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，说法正确，故不符合题意；
故选：A．
4．【答案】B
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确；
综上所述，B符合题意，
故选：B．
5．【答案】C
【解答】解：
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选：C．
6．【答案】A
【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴a．
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：由作图方法可知，MN垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长是12，
∴CE+DE+CD＝12，
∴AE+DE+CD＝12，即AD+CD＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴ ABCD的周长＝AB+CD+AD+BC＝2（AD+CD）＝24，
故选：B．
8．【答案】B
【解答】解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AD2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x，
∴绳索AC的长是．
故选：B．
9．【答案】B
【解答】解：如图，连接DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴DE3，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED＝3，
∴BC＝BD+CD＝5+3＝8，
∴AC6，
∵OF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
设AF＝DF＝x，则CF＝6﹣x，
∵DF2＝CF2+CD2，
∴x2＝（6﹣x）2+32，
解得：，
∴，
故选：B．
10．【答案】C
【解答】解：∵S正方形AHIG＝20，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，AD＝3，
∴AB＝AD＝3，∠ABC＝90°，
∴，
∵四边形EFGB是正方形，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【答案】2（答案不唯一）
【解答】解：根据同类二次根式的定义，例如：2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
12．【答案】6．
【解答】解：根据题意，设多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝2×360°，．
n 180°﹣360°＝2×360°，
解得：n＝6，
故这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．【答案】±3．
【解答】解：由条件可得，
∴x＝2，
∴，
∴yx＝32＝9，
∵9＝（±3）2，
∴yx的平方根为±3，
故答案为：±3．
14．【答案】9．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC3（cm），
∴S△ABDBD AC6×39（cm2），
故答案为：9．
15．【答案】21或11．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
分两种情况：
①如图1，△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，
由勾股定理得：BD5，
在Rt△ADC中，AC＝20，AD＝12，
由勾股定理得：CD16，
∴BC＝BD+DC＝5+16＝21；
②如图2，同①得：BD＝5，CD＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11；
综上所述，BC的长为21或11．
故答案为：21或11．
16．【答案】①②③．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
设AB＝CD＝a，则ADa，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝a，
∴AEAB，
∴AE＝AD，故①正确；
∵DH⊥AE，∠DAE＝45°，ADa，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴DH＝AH＝a，
∴DH＝DC，
∵DH⊥AE，DC⊥CE，
∴DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，故②正确；
③∵AH＝AB＝a，
∴∠ABH＝∠AHB，
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠DFB＝180°，
又∠AHB+∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠HFD，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝a，∠ADH＝45°，
∴∠HDF＝90°﹣45°＝45°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BEH＝45°，
∴∠BEH＝∠HDF，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（AAS），
∴BH＝HF，故③正确；
∵△BEH≌△HDF，
∴HE＝DF，HE＝AE﹣AHa﹣a，
∴CF＝a﹣（a﹣a）＝2aa，
∴AB﹣CF＝a﹣（2aa）a﹣a，
∴AB﹣CF＝HE，故④错误；
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝3．
18．【答案】（1）；
（2）11．
【解答】解：（1）由条件可得：，，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab
＝12﹣1
＝11．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
20．【答案】（1）风筝的高度CE为17.7米；
（2）不同意小红的说法．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD，
由题意易得DE＝AB＝1.7，
∴CE＝CD+DE＝16+1.7＝17.7（米），
答：风筝的高度CE为17.7米；
（2）不同意小红的说法．
理由如下：在线段CD上截点M，使CM＝7米，
由题意得，
∴DM＝CD﹣CM＝16﹣7＝9（米），
∴（米）
∴BC﹣BM＝20﹣15＝5（米）
即：应该往回收线5米，不同意小红的说法．
21．【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝20，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OEAD＝AE＝10，
由（1）可知，四边形EFCO是矩形，
∴FG＝OE＝10，EF＝OG＝8，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴AF6，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝20﹣6﹣10＝4．
22．【答案】（1）；（2）80；（3）．
【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）∵
，
解得：n＝80；
（3）；
故答案为：．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：四边形AEFD能够成为菱形，理由是：
由题意得：AE＝2t，CD＝4t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DFCD4t＝2t，
∴AE＝DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AE＝AD，四边形AEFD是菱形，
∵AC＝100，CD＝4t，
∴AD＝100﹣4t，
∴2t＝100﹣4t，
t，
∴当t时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）分三种情况：
①当∠EDF＝90°时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴DF＝BE＝2t，
∵ABAC＝50，AE＝2t，
∴2t＝50﹣2t，
t，
②当∠DEF＝90°时，如图4，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝60°，AE＝2t，
∴AD＝t，
∴AC＝AD+CD，
则100＝t+4t，
t＝20，
③当∠DFE＝90°不成立；
综上所述：当t为s或20s时，△DEF为直角三角形．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分）
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（7分）
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC …（12分）

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