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2026年浙江省中考数学考前押题预测卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2026 平阳县校级模拟）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A．π B．0.4 C．0 D．﹣1
2．（2026 富阳区一模）自哥白尼提出日心说以来，人类对日地距离的测算日益精确．地球与太阳的平均距离大约为150000000km，用科学记数法表示这个距离为（　　）
A．1.5×106km B．1.5×107km
C．1.5×108km D．0.15×105km
3．（2026 宁波模拟）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
4．（2026 湖州一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
5．（2026 湖州一模）为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（　　）
A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分
C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分
6．（2026 金华一模）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．55°
7．（2026 柯城区一模）解方程时，在方程的两边同乘以（x﹣3），得（　　）
A．2x﹣2＝2x﹣1 B．2x﹣2（x﹣3）＝﹣（2x﹣1）
C．2x﹣2＝﹣（2x﹣1） D．2x﹣2（x﹣3）＝2x﹣1
8．（2026 舟山模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程为（　　）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9
C． D．
9．（2026 定海区一模）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2026 温州一模）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B﹣C﹣D向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点E（2，m）．下列说法不正确的是（　　）
A．n＝7 B．m＝25
C． D．点（4，28）在该函数图象上
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2026 定海区模拟）已知﹣xmy2与2xyn是同类项，则（m﹣n）2026的值是　 　 ．
12．（2026 衢州模拟）在平面直角坐标系中，将点A（1，2）向右平移2个单位，向上平移1个单位，所得点B的坐标是　 　 ．
13．（2026 余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝4，BC＝6，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为　 　 ．
14．（2026 宁波模拟）如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是 　 　 ．
15．（2026 鹿城区校级一模）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，则x的取值范围是　 　 ．
16．（2026 莲都区校级模拟）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（2026 宁波一模）①计算：
②先化简，再求值．[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2．
18．（2026 西湖区校级模拟）解方程：
（1）；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
19．（2026 柯城区一模）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD边于点E，AF是BC边上的高，垂足为F，交BE于点G．已知∠ABE＝30°．
（1）求∠AGE的度数．
（2）若BF＝3，FC＝4，求DE的长度．
20．（2026 宁波一模）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为 　 　 ，是 　 　 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
21．（2026 普陀区一模）如图，BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC＝BC，且∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
22．（2026 宁波模拟）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一…”．如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD＝CB＝1米．（AD，BC垂直地面）若∠AED＝45°，∠BEC＝30°．，最后结果保留到0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米．
23．（2026 嘉兴一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c为常数）．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象于点A，B，AB＞2．
①求c的取值范围；
②若AB＝4，且当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的最小值为2，求t的值．
24．（2026 湖州一模）如图，在△ABC中，D是边AB上一点（不与点A，B重合），⊙O经过点A，C，D．
（1）如图1，连接OC，OD，CD，若∠DOC＝150°，CD＝CA，
①求∠ADO的度数；
②若又满足tanB＝1，OD＝2，求AB的长．
（2）如图2，过点D作DE∥BC，交⊙O于点E，连接OE，若∠ACB＝2∠AEO，求证：DE＝AC．
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2026年浙江省中考数学考前押题预测卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2026 平阳县校级模拟）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A．π B．0.4 C．0 D．﹣1
【答案】A
【分析】根据无理数的概念判断．
【解答】解：A、π属于无理数，符合题意；
B、0.4不属于无理数，不符合题意；
C、0不属于无理数，不符合题意；
D、﹣1不属于无理数，不符合题意；
故选：A．
2．（2026 富阳区一模）自哥白尼提出日心说以来，人类对日地距离的测算日益精确．地球与太阳的平均距离大约为150000000km，用科学记数法表示这个距离为（　　）
A．1.5×106km B．1.5×107km
C．1.5×108km D．0.15×105km
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时n是负整数，由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：150000000km＝1.5×108km．
故选：C．
3．（2026 宁波模拟）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质，对顶角相等进行解答即可．
【解答】解：如图，
根据三角形外角的性质可知∠1＝45°+∠3，∠2＝∠5+∠4＝60°+∠4，
对顶角相等可知∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝35°+60°＝95°，
故选：C．
4．（2026 湖州一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】D
【分析】根据点关于y轴的对称点的特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变即可解答．
【解答】解：点A（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标是（2，1），
故选：D．
5．（2026 湖州一模）为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（　　）
A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分
C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分
【答案】C
【分析】用总人数减去4、6、8可得m的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D．
【解答】解：A、m＝20﹣6﹣4﹣8＝2，不是3，故选项A错误，不符合题意；
B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误，不符合题意；
C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为（分），故选项C正确，符合题意；
D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6．（2026 金华一模）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】A
【分析】由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D，得到∠B+∠D＝180°，即可求出∠D＝35°．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠C＝∠D，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝145°，
∴∠D＝35°．
故选：A．
7．（2026 柯城区一模）解方程时，在方程的两边同乘以（x﹣3），得（　　）
A．2x﹣2＝2x﹣1 B．2x﹣2（x﹣3）＝﹣（2x﹣1）
C．2x﹣2＝﹣（2x﹣1） D．2x﹣2（x﹣3）＝2x﹣1
【答案】B
【分析】根据解分式方程中去分母步骤即可解答．
【解答】解：根据解分式方程中去分母步骤可知：
，
2x﹣2（x﹣3）＝﹣（2x﹣1）．
故选：B．
8．（2026 舟山模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程为（　　）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9
C． D．
【答案】A
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程．
【解答】解：根据题意人数不变可得（x﹣2）×3＝2x+9．
故选：A．
9．（2026 定海区一模）在平面直角坐标系xOy中，四个点的坐标分别为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10）．若一次函数y＝kx+5的图象经过上述四个点中的三个点，则3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据题意，先求出任意两点确定直线的k值，进一步得出一次函数经过的三个点，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为A（m﹣1，n+2），B（m，n），C（m+1，n﹣4），D（m+3，n﹣10），
则A、B确定直线的k值为，B、C确定直线的k值为，C、D确定直线的k值为，A、C确定直线的k值为，
所以点A，C，D在一次函数y＝kx+5的图象上，
则k＝﹣3．
将点A坐标代入y＝﹣3x+5得，
﹣3（m﹣1）+5＝n+2，
整理得，3m+n＝6．
故选：D．
10．（2026 温州一模）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B﹣C﹣D向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点E（2，m）．下列说法不正确的是（　　）
A．n＝7 B．m＝25
C． D．点（4，28）在该函数图象上
【答案】B
【分析】连接AC，交BD于点O，过点Q作QH⊥DB于点H，结合菱形的性质得BD＝DC＝BC，∠DBC＝60°，OC⊥BD，进一步判定△BCO∽△BQH，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，x＝DO＝3.5，则BD＝2DO＝7，则和，结合图2可知点n＝7，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段BC运动时，解得BH＝x、和PH＝PB﹣BH，利用勾股定理求得PQ2为7（x﹣2）2+21，即可得到点E的信息；当点Q在线段DC运动时，同理可得PD＝x，PB＝7﹣x，DQ＝14﹣2x，DH＝7﹣x和，则PH＝2x﹣7，利用勾股定理求得PQ2＝7x2﹣70x+196，代入点即可．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点Q作QH⊥DB于点H，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝∠DBC＝60°，DC＝BC，OC⊥BD，DO＝OB，
∴△BCD为等边三角形．
∴BD＝DC＝BC，
∵OC⊥BD，QH⊥DB，
∴OC∥QH，
∴∠BDH＝∠BCO，∠BHQ＝∠BOC，
∴△BCO∽△BQH，
∴，
∴Q以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当Q运动至C、P运动至点O时，x＝DO＝3.5，则BD＝2DO＝3.5×2＝7，
那么，，，由图2可知点n＝7，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
①当Q在线段BC运动时，
∴PD＝x，PB＝7﹣x，BQ＝2x，
∴，
∴BH＝x，，
∴PH＝PB﹣BH＝7﹣x﹣x＝7﹣2x，
∵PQ2＝PH2+HQ2，
∴y
＝7（x﹣2）2+21，
∴当x＝2时，m＝y＝21；
当x＝3.5时，，
②当Q在线段DC运动时，
同理可得，PD＝x，PB＝7﹣x，DQ＝14﹣2x，
∴，，
∴PH＝PD﹣DH＝2x﹣7，
∵PQ2＝PH2+HQ2，
∴y
＝7x2﹣70x+196，
∴当x＝4时，y＝28，
故选：B．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2026 定海区模拟）已知﹣xmy2与2xyn是同类项，则（m﹣n）2026的值是　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值．
【解答】解：由同类项的定义可知m＝1，n＝2，
∴（m﹣n）2026＝（1﹣2）2026＝1．
故答案为：1．
12．（2026 衢州模拟）在平面直角坐标系中，将点A（1，2）向右平移2个单位，向上平移1个单位，所得点B的坐标是　（3，3）　 ．
【答案】（3，3）．
【分析】依据平移规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系中，将点A（1，2）向右平移2个单位，向上平移1个单位，所得点B的坐标是（1+2，2+1），即（3，3）．
故答案为：（3，3）．
13．（2026 余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝4，BC＝6，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为　4　 ．
【答案】4．
【分析】由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，可得，即可得△ADE的面积．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴若DE＝4，BC＝6，△ABC的面积为9，则．
故答案为：4．
14．（2026 宁波模拟）如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是 m≥2　 ．
【答案】m≥2．
【分析】先求得每一个不等式的解集，后根据小小取小的法则，确定m的范围即可．
【解答】解：∵3x＜2x+2的解集为x＜2；x＜m的解集为x＜m；且不等式组的解集是x＜2，
∴m≥2，
故答案为：m≥2．
15．（2026 鹿城区校级一模）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，则x的取值范围是　0＜x＜1或x＜﹣2　 ．
【答案】0＜x＜1或x＜﹣2．
【分析】根据图像找出一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围即可．
【解答】解：一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，则：
根据函数图象可知，当0＜x＜1或x＜﹣2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
即当0＜x＜1或x＜﹣2时，y1＜y2，
∴x的取值范围为：0＜x＜1或x＜﹣2．
16．（2026 莲都区校级模拟）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　10　 ．
【答案】10
【分析】根据题意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为S△GDC+S△BCM，用a，b表示后计算即可．
【解答】解：如图2，
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴△FNK≌△GHI，
∴FN＝GH＝a，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB，
∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a，
∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM
＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM
＝S△GDC+S△BCM
＝ab，
∵b﹣a＝3，a2+b2＝29，
∴，
即阴影部分的面积为10，
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（2026 宁波一模）①计算：
②先化简，再求值．[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2．
【分析】①先分别求出平方的相反数、三次方、立方根、平方根，再按照整式的混合运算的顺序来运算；
②先用平方差公式和完全平方公式将代数式化简，再将给定的值代入计算即可．
【解答】解：①
＝﹣1+（﹣8）（﹣3）×（）
＝﹣1+（﹣1）﹣1
＝﹣3
②[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y
＝[x2﹣4y2﹣x2﹣16y2﹣8xy]÷4y
＝（﹣20y2﹣8xy）÷4y
＝﹣5y﹣2x
将x＝5，y＝2代入上式得，
原式＝﹣5y﹣2x
＝﹣5×2﹣2×5
＝﹣10﹣10
＝﹣20
18．（2026 西湖区校级模拟）解方程：
（1）；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
【分析】（1）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出x，再进行检验即可；
（2）先求出一元二次方程根的判别式，然后利用求根公式进行解答即可．
【解答】解：（1），
，
2x+1＝x﹣2，
2x﹣x＝﹣1﹣2，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣3；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
a＝3，b＝2，c＝﹣2，
Δ＝22﹣4×3×（﹣2）
＝4+24
＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
．
19．（2026 柯城区一模）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD边于点E，AF是BC边上的高，垂足为F，交BE于点G．已知∠ABE＝30°．
（1）求∠AGE的度数．
（2）若BF＝3，FC＝4，求DE的长度．
【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解；
（2）利用直角三角形的性质求得AB＝2BF＝6，再利用平行四边形的性质推出∠AEB＝∠CBE＝30°＝∠ABE，求得AE＝AB＝6，AD＝BC＝7，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC，
∴∠FBG＝∠ABE＝30°，
∵AF是BC边上的高，
∴∠BGF＝90°﹣∠FBG＝60°，
∴∠AGE＝∠BGF＝60°；
（2）∵∠FBG＝∠ABE＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AF是BC边上的高，
∴∠BAF＝30°，
∵BF＝3，
∴AB＝2BF＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝BF+CF＝7，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝30°＝∠ABE，
∴AE＝AB＝6，
∴DE＝AD﹣AE＝1．
20．（2026 宁波一模）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为 　　 ，是 　随机　 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）直接利用概率公式，求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
21．（2026 普陀区一模）如图，BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC＝BC，且∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
【分析】（1）证明△ACE≌△CBD（AAS），即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝CD，由等腰三角形的性质可得CE＝DE，从而得出AE＝CD＝2CE＝2BD，再结合勾股定理计算即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝90°，∠AEC+∠AED＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，
∴∠ACB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠CAE+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△ACE和△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE＝BD；
（2）解：由（1）可得△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE⊥CD，，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE，
∴AE＝CD＝2CE＝2BD，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC2＝CE2+AE2，
∴，
解得：CE＝4（负值已舍去），
∴BD＝4．
22．（2026 宁波模拟）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一…”．如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD＝CB＝1米．（AD，BC垂直地面）若∠AED＝45°，∠BEC＝30°．，最后结果保留到0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米．
【分析】（1）根据正切的定义，分别求得DE，EC的长，进而根据AB＝CD＝DE+EC，即可求解；
（2）解Rt△ADE，Rt△EBC，求得 AE，BE的长，结合题意，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，AB＝CD，∠D＝∠C＝90°，
∵∠AED＝45°，∠BEC＝30°，AD＝CB＝1
∴，
∴；
答：AB的距离为2.8米；
（2）在Rt△ADE中，，
在Rt△EBC中，
∴，
答：当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了0.7米
23．（2026 嘉兴一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c为常数）．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象于点A，B，AB＞2．
①求c的取值范围；
②若AB＝4，且当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的最小值为2，求t的值．
【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可；
（2）①求出AB＝2时的c的值，即可得出结果；②根据题意，易得点（﹣1，4）在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分t＜0和t≥0两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c为常数）．
∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为直线．
（2）①当AB＝2时，
则二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象经过点（0，4），
∴c＝4，
∴当AB＞2时，c＞4．
②∵AB＝4，且二次函数y＝﹣x2+2x+c图象的对称轴为直线x＝1，
由题意可得：4＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c，解得c＝7．
∴y＝﹣x2+2x+7．
（Ⅰ）当t＜0时，|1﹣t|＞|t+2﹣1|，
∴当x＝t时，二次函数的最小值为2，
∴2＝﹣t2+2t+7，解得（舍去）或．
（Ⅱ）当t≥0时，|1﹣t|≤|t+2﹣1|，
∴当x＝t+2时，二次函数的最小值为2，
∴2＝﹣（t+2）2+2（t+2）+7，解得或（舍去）．
综上：t的值为或．
24．（2026 湖州一模）如图，在△ABC中，D是边AB上一点（不与点A，B重合），⊙O经过点A，C，D．
（1）如图1，连接OC，OD，CD，若∠DOC＝150°，CD＝CA，
①求∠ADO的度数；
②若又满足tanB＝1，OD＝2，求AB的长．
（2）如图2，过点D作DE∥BC，交⊙O于点E，连接OE，若∠ACB＝2∠AEO，求证：DE＝AC．
【分析】（1）①根据等边对等角得到∠ODC＝15°，根据圆周角定理，等边对等角得到∠ADC＝∠A＝75°，再根据角的和差计算即可；
②延长CO交AB于点M，由角的和差可得CM⊥AB，根据特殊角的三角函数值的计算得到，结合题意得到BM＝CM，由此即可求解；
（2）如图，连接CE，AO，设∠AEO＝α，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形BCED是平行四边形，结合题意即可求解．
【解答】（1）解：①∵OD＝OC，∠DOC＝150°，
∴∠ODC＝15°，
∵∠DOC＝150°，
∴∠A＝75°，
∵CD＝CA，
∴∠ADC＝∠A＝75°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝60°．
②如图，延长CO交AB于点M，
∵∠OCD+∠ADC＝15°+75°＝90°，
∴∠CMD＝90°，即CM⊥AB，
∵CD＝CA，
∴AM＝DM，
∵∠ADO＝60°，
∴，AM＝DM＝OD cos60°＝1，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接CE，AO，
设∠AEO＝α，
∵∠ACB＝2∠AEO，
∴∠ACB＝2α，
∵AO＝OE，
∴∠AOE＝180°﹣2α，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝90°﹣α，
∵∠ACB＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣α，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC，
∵∠DEC＝∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DEC＝∠ADE，
∴CE∥BA，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE，
∴AC＝DE．
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