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第4章平行四边形（单元培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2026 舟山模拟）下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下：
A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2025春 永康市期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．两组对边分别相等
C．对角线相等 D．中心对称性
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质即可求解．
【解答】解：∵平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是其对称中心；
∴平行四边形不一定具有的性质对角线相等．
故选：C．
3．（2026春 龙泉市期中）用反证法证明“若直线a与直线b不平行，则∠1≠∠2”，应先假设（　　）
A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．∠1≥∠2
【答案】C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：反证法证明“若直线a与直线b不平行，则∠1≠∠2”，应先假设∠1＝∠2，
故选：C．
4．（2025春 浙江期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．120°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝120°，
∴∠C＝60°，
故选：B．
5．（2026春 萧山区期中）若一个多边形的内角和为1260°，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可．
【解答】解：设此多边形的边数为x，
由题意得：（x﹣2）×180＝1260，
解得：x＝9，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9﹣3＝6．
故选：B．
6．（2026春 钱塘区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则∠BAD的大小为（　　）
A．24° B．28° C．48° D．66°
【答案】C
【分析】先根据旋转得∠B＝∠ADE，AB＝AD，再根据“直角三角形的两个锐角互余”求出∠ADF＝66°，进而得出∠B＝66°，再根据“等边对等角”及三角形内角和定理求出答案．
【解答】解：设DE，AC交于F，如图：
根据旋转得∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝90°﹣24°＝66°，
∴∠B＝66°．
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝66°，
∴∠BAD＝180°﹣2×66°＝48°．
故选：C．
7．（2025春 西湖区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．
【解答】解：A、若AB＝CD，AD＝BC，能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、若OA＝OC，OB＝OD，能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、若∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（2025春 永康市期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH∥BD，EHBD＝4，FH∥AC，FHAC＝3，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH∥BD，EHBD＝4，
同理可得：FH∥AC，FHAC＝3，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴EF5，
故选：A．
9．（2025春 丽水期中）如图，E是 ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ得到BE＝CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF＝S△APD＝3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵Q是CE中点，
∴EQ＝CQ，
在△BEQ和△FCQ中，，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，
∵AB﹣BE＝CD﹣CF，
即AE＝FD，
∵AE∥FD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴S△PEF＝S△APD＝3cm2，
∴阴影部分的面积＝S△BEF+S△PEF＝14+3＝17（cm2）．
故选：B．
10．（2026春 鄞州区期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°；②；③S平行四边形ABCD＝AB AC；④．其中正确的个数是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质即可得∠DAB＝120°，又AE平分∠BAD则可得∠BAE＝∠DAE＝60°＝∠ABE，即三角形ABE为等边三角形，则可判断①；根据S△ABC＝S△ACDS四边形ABCD，结合勾股定理即可判断②和③；AO＝CO，BE＝CE，则OE为三角形ABC的中位线，利用中位线的性质即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，AO＝CO，
∴∠DAB＝120°，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝60°＝∠ABE，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠AEC＝120°，
∵AE＝EC，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠BCA＝30°，故①正确，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝S△ACDS四边形ABCD，
∴S平行四边形ABCD＝AB AC，故③正确，
AC，
∴AO，BO，
∴BD＝2BO，故②正确，
∵AO＝CO，BE＝CE，
∴OE为三角形ABC的中位线，
∴OE∥AB，AB＝2OE，
∴OE，
又∵BC＝2，
∴OEBCBD，故④错误．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 巴宜区校级期中）如图，将 ABCD的一边BC延长，若∠A＝110°，则∠1＝　70°　 ．
【答案】70°．
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
12．（2025春 乐平市期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为 　120°　 ．
【答案】120°．
【分析】根据题意可知，∠ABC是正六边形的一个内角，且每个内角都相等，由四边形的内角和公式进行即可，即可得出答案．
【解答】解：根据正多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°，
∵正六边形的每个内角都相等，
∴∠ABC＝720°÷6＝120°．
故答案为：120°．
13．（2026春 闵行区期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则BD的长为　2　 ．
【答案】2．
【分析】由∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，求得AC6，则CO＝AO＝3，再求出OB可得结论．
【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，
∴∠ACB＝90°，
∴AC6，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴CO＝AOAC＝3，
∴DO＝BO，
∴BD＝2OD＝2．
故答案为：2．
14．（2026春 闵行区期中）等腰三角形的两条中位线长分别为4和5，则它的周长为　28或26　 ．
【答案】28或26．
【分析】根据三角形的中位线定理，可求得等腰三角形的两边长为8，10，再根据三角形的三边关系定理求得另一边，从而计算出周长．
【解答】解：∵等腰三角形的两条中位线长分别为5和4，
∴等腰三角形的两边长为10，8，
当腰为6时，则三边长为10，10，8；周长为28；
当腰为8时，则三边长为10，8，8；周长为26；
综上所述，它的周长为28或26，
故答案为：28或26．
15．（2025春 宝安区期末）如图，在 ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　　 ．
【答案】．
【分析】作AH⊥BC于点H，由平行四边形的性质得BC＝AD＝5，AB＝CD，因为BE＝3，所以CE＝BC﹣BE＝2，由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2，则EH＝CH＝1，AB＝2，所以BH＝BE+EH＝4，则AH6，求得AE，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，AB＝CD，
∵BE＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2，
∴EH＝CHCE＝1，AB＝2，
∴BH＝BE+EH＝3+1＝4，
∴AH6，
∴AE，
故答案为：．
16．（2026春 晋安区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为　或　 秒．
【答案】或．
【分析】分两种情况：①当四边形PCDQ为平行四边形时，②当四边形CPDQ为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵AD＝16，动点Q同时从A点出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，
∴运动时间为16÷1＝16（秒），
∵BC＝21，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，
P到达C的时间为21÷3＝7（秒），
∴当P在C点以及C点的左边时，即0≤t≤7时，
则PC＝21﹣3t，
当P在C的右边时，即7＜t≤16时，
则PC＝3t﹣21，
以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，
①当四边形PCDQ为平行四边形时，0≤t≤7，PC＝PQ，
∴16﹣t＝21﹣3t，
解得：；
②当四边形CPDQ为平行四边形时，7＜t≤16，CP＝DQ，
∴3t﹣21＝16﹣t，
解得，
综合上述，当或时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 江宁区月考）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，第二步得出矛盾：∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
【解答】证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，
∴∠A＝∠B＝90°不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
18．（2026春 浦东新区校级月考）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠BAD＝120°，BE＝2，FD＝3，
（1）求∠EAF的度数；
（2）求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，∠B＝∠D，从而得到∠B＝∠D＝60°，再由AE⊥BC，AF⊥CD，可得∠BAE＝∠DAF＝30°，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，在Rt△BAE和Rt△DAF中，根据直角三角形的性质可得AB＝2BE，AD＝2DF，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF，
∵BE＝2，FD＝3，
∴AB＝4，AD＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20．
19．（2026春 商南县月考）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝8，求这个多边形共有多少条对角线．
（2）若这个多边形的内角和等于外角和的4倍，求n的值．
【分析】（1）直接根据多边形对角线公式求解即可；
（2）根据多边形的外角和为360°，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
【解答】解：（1）根据多边形对角线公式可得：
n＝8，多边形对角线为；
（2）（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10．
20．（2026春 乐陵市月考）如图，四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F．
（1）若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F的度数．
【分析】（1）根据题意可得∠ABE＝100°，根据角平分线的定义可得∠ABF＝∠EBF＝50°，根据两直线平行，同位角相等可得∠DCB＝∠EBF＝50°；
（2）根据角平分线的定义可得，∠EBF＝∠ABF，根据四边形内角和定理可得∠ABC+∠BCD＝130°，结合三角形的外角等于不塌不相邻的两个内角之和即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝180°﹣80°＝100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠EBF＝50°，
∵BF∥CD，
∴∠DCB＝∠EBF＝50°；
（2）∵CF平分∠BCD，BF平分∠ABE，
∴，∠EBF＝∠ABF，
∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD＝360°，∠A＝110°，∠D＝120°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣110°﹣120°＝130°，
即180°﹣∠ABE+2∠BCF＝130°，
∵∠ABE＝2∠EBF，∠EBF＝∠F+∠BCF，
∴180°﹣2（∠F+∠BCF）+2∠BCF＝130°，
∴2∠F＝50°，
∴∠F＝25°．
21．（2025秋 桓台县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
【分析】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．
（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．
【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝5．
22．（2026春 玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝1，AE＝3，则EF的长为　　 ．
【分析】（1）证明△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得CD＝BD＝1，则CE＝CD＝1，DE＝2CD＝2，再由勾股定理求出AD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
在△FCE和△ACD中，，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝1，∠ADE＝90°，
∵四边形ADFE是平行四边形
∴DE＝2CD＝2，EF＝AD，
在Rt△ADE 中，AD2＝AE2﹣DE2，
∴，
∴．
故答案为：．
23．（2026春 静安区校级月考）【阅读材料】
老师提出的问题： 同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、 F的位置，使四边形AECF为平行四边形？ 方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，连接AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证出△ADE≌△CBF（ASA），得到AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求出AE∥CF，即可得到结论；
（2）在BD上取点E、F使得DE＝BF，证出△AED≌△CFB，得到AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求出AE∥CF，即可得到结论．
【解答】解：（1）方案1和2正确；
选择方案1证明：
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC，DC∥AB，DC＝AB，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
所以四边形AECF为平行四边形．
方案2证明：
如图：
根据题意得：DE＝EF＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
所以四边形AECF为平行四边形．
方案3证明：
如图：
根据题意得：AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
根据已知得：AD＝BC，AE＝CF，∠ADE＝∠CBF，
无法根据边边角证出△ADE和△CBF全等，
∴无法得到四边形AECF为平行四边形；
（2）方案：在BD 上取点E、F使得DE＝BF，
在BD上取点E、F使得DE＝BF，
在△AED和△CFB中，，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AE＝CE，∠AED＝∠CFB，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
所以四边形AECF为平行四边形．
24．（2025秋 蚌山区校级期中）综合与实践
（1）思考探究：如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P，则∠P与∠A的关系是 　∠P∠A ．
（2）类比探究：如图2，在四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，求∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图3，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其他条件不变，请写出∠P＝ 　90°αβ　 ．（用含α，β的代数式表示）
【分析】（1）由BP平分∠ABC，设∠ABP＝∠CBP＝θ，则∠ABC＝2θ，由三角形外角性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2θ，∠DCP＝∠P+∠CBP＝∠P+θ，再由CP平分∠ACD得∠ACD＝2∠DCP，由此得∠A+2θ＝2∠P+2θ，进而得∠P与∠A的关系；
（2）延长BA，CD相交于F，则∠FAD＝180°﹣α，∠CDA＝180°﹣β，由三角形内角和定理得∠F＝180°﹣（∠FAD+∠CDA）＝α+β﹣180°，再根据由（1）的结论即可得出∠P的度数；
（3）∠ABC的平分线BM的反向延长线与∠DCE的平分线CN的反向延长线交于点P，设∠ABM＝∠CBM＝θ，∠DCN＝∠ECN＝γ，则∠ABC＝2θ，∠DCE＝2γ，∠BCP＝γ，∠BCD＝180°﹣2γ，根据三角形外角性质得∠CBM＝∠P+∠BCP，由此得∠P＝θ﹣γ，在四边形ABCD中，根据四边形内角和等于360°得α+β+2θ+180°﹣2γ＝360°，由此得θ﹣γ＝90°αβ，据此可得出∠P的度数．
【解答】解：（1）∴BP平分∠ABC，
设∠ABP＝∠CBP＝θ，
∴∠ABC＝2θ，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2θ，
∵∠DCP是△BCP的外角，
∴∠DCP＝∠P+∠CBP＝∠P+θ，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠DCP，
∴∠A+2θ＝2∠P+2θ，
∴∠P与∠A的关系是：∠P∠A，
故答案为：∠P∠A；
（2）∵∠BAD＝α，∠CDA＝β，α+β＞180°，
∴延长BA，CD相交于点F，如图2所示：
∴∠FAD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，∠CDA＝180°﹣∠CDA＝180°﹣β，
在△FAD中，∠F＝180°﹣（∠FAD+∠CDA）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，
∴由（1）的结论得：∠P∠Fαβ﹣90°；
（3）∵∠A＝α，∠D＝β，α+β＜180°，
∴∠ABC的平分线BM的反向延长线与∠DCE的平分线CN的反向延长线交于点P，如图3所示：
设∠ABM＝∠CBM＝θ，∠DCN＝∠ECN＝γ，
∴∠ABC＝2θ，∠DCE＝2γ，∠BCP＝γ，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝180°﹣2γ，
∵∠MBC是△PBC的外角，
∴∠CBM＝∠P+∠BCP，
∴∠P＝∠CBM﹣∠BCP＝θ﹣γ，
∴在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠ABC+∠DCE＝360°，
∴α+β+2θ+180°﹣2γ＝360°，
∴θ﹣γ＝90°αβ，
∴∠P＝90°αβ．
故答案为：90°αβ．
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第4章平行四边形（单元培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2026 舟山模拟）下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 永康市期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．两组对边分别相等
C．对角线相等 D．中心对称性
3．（2026春 龙泉市期中）用反证法证明“若直线a与直线b不平行，则∠1≠∠2”，应先假设（　　）
A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．∠1≥∠2
4．（2025春 浙江期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．120°
5．（2026春 萧山区期中）若一个多边形的内角和为1260°，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2026春 钱塘区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则∠BAD的大小为（　　）
A．24° B．28° C．48° D．66°
7．（2025春 西湖区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
8．（2025春 永康市期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．（2025春 丽水期中）如图，E是 ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A．24 B．17 C．13 D．10
10．（2026春 鄞州区期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°；②；③S平行四边形ABCD＝AB AC；④．其中正确的个数是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 巴宜区校级期中）如图，将 ABCD的一边BC延长，若∠A＝110°，则∠1＝　 　 ．
12．（2025春 乐平市期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为 　 　 ．
13．（2026春 闵行区期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则BD的长为　 　 ．
14．（2026春 闵行区期中）等腰三角形的两条中位线长分别为4和5，则它的周长为　 　 ．
15．（2025春 宝安区期末）如图，在 ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　 　 ．
16．（2026春 晋安区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为　 　 秒．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 江宁区月考）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
18．（2026春 浦东新区校级月考）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠BAD＝120°，BE＝2，FD＝3，
（1）求∠EAF的度数；
（2）求平行四边形ABCD的周长．
19．（2026春 商南县月考）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝8，求这个多边形共有多少条对角线．
（2）若这个多边形的内角和等于外角和的4倍，求n的值．
20．（2026春 乐陵市月考）如图，四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F．
（1）若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F的度数．
21．（2025秋 桓台县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
22．（2026春 玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝1，AE＝3，则EF的长为　 　 ．
23．（2026春 静安区校级月考）【阅读材料】
老师提出的问题： 同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、F的位置，使四边形AECF为平行四边形？ 方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，连接AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
24．（2025秋 蚌山区校级期中）综合与实践
（1）思考探究：如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P，则∠P与∠A的关系是 　 　 ．
（2）类比探究：如图2，在四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，求∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图3，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其他条件不变，请写出∠P＝ 　 　 ．（用含α，β的代数式表示）
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