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江苏如东中学、姜堰中学、南菁中学、沭阳如东中学、前黄中学2026届高三下学期4月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4.正多面体共有种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体正六面体即正方体正八面体正十二面体正二十面体．连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体．已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为( )
A. B. C. D.
5.已知动点在圆上，点，当面积最小值时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为 ( )
A. B. C. D.
7.在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则
B. 一组数据的第百分位数是
C. 已知随机变量，若，则
D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的倍，则不变，其中
10.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点下列说法正确的是( )
A. 若为线段中点，则 B. 若，则
C. 不存在直线，使得 D. 面积的最小值为
11.已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则( )
A. 是等差数列 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知且，则的展开式中的系数的值为 ．
13.在角，，，，的终边上分别有一点，，，，，如果点的坐标为，，，则
14.已知菱形，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是等比数列的前项和，已知，．
求和；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数单位：万的数据，具体如下表所示：
年份代码
在线用户数单位：万
求样本相关系数精确到小数点后两位，并判断变量与之间的线性相关关系的强弱；
从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望．
注：样本相关系数．
17.本小题分
已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
求的标准方程；
过的直线与的上、下支分别交于，两点异于，直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
18.本小题分
将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体如图所示的椭圆柱体，点和分别为上下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于两点，是上一点，且满足平面．
求的值；
求点到平面距离的最大值；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
设函数，
若曲线在点处的切线方程为，求实数、的值；
关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：解：设等比数列的公比为，
由，得
解得
，．
，
，
，
数列的前项和
．
16.解：
，
，
，
，
，
接近，
变量与高度线性相关．
表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为，
从个数据中任取个，共种，
时，含的组合数为种，故；
时，不含，含的组合数为种，故；
时，不含，不含，含的组合数为种，故；
的分布列为：
数学期望．

17.【解】由题意，，，所以，所以的方程为．
证明：由题意，直线的斜率存在，
设直线方程为：，，
联立，消去，得，
由于，同号，所以，，，
所以，联立，解得，
所以，所以直线的方程为，
即，联立解得，所以直线与直线的交点在定直线上
18.解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
由题意，椭圆的长轴长，短轴长，则焦距，
所以椭圆的方程为，
则，，，设，
所以，
因为平面，平面，平面平面，
所以，则存在唯一实数，使得，
所以，解得
所以，所以；
设，
则，，
设平面的法向量为，
则，可取，
又因为，
所以点到平面距离，
当时，，
当时，当时取等号，
即点到平面的距离的最大值为．
因为，所以直线的方向向量，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：由可得，
所以，解得，
由曲线在点处的切线方程为，
所以，则，
故实数、的值分别为，；
不可能有三个不同的实根，证明如下：
令如果有三个不同的实根，则至少要有三个单调区间，则至少两个不等实根，
所以只要证明在至多个实根；
，，
当时，，
，在单调递增，
在至多个实根；
当时，，
在单调递增，
，又因为时，
，
在没有实根，
综合可知，在至多个实根，所以得证；
对任意恒成立，且，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
令，
则对任意恒成立，
时，且，
在单调递增，
在恒成立，

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