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云南楚雄龙江中学等校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 函数的最小值是
B. 函数的最小值为
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 不等式与有相同的成立条件
5.已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知长方体中，，，为的中点若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为( )
A. B. C. D.
7.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知年中国体育产业规模单位：万亿元数据如表所示：
年份
体育产业规模单位：万亿元
则这个数据的( )
A. 极差为 B. 中位数为
C. 分位数为 D. 平均数大于
10.已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在区间上的最小值为
C. 是图象的一个对称中心
D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称
11.如图，有一个直三棱柱容器，，，，，为棱上一动点，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的外接球的半径为
D. 在这个容器中放入个小球全部进入，则小球的表面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 ．
13.已知，分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点，均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ．
14.已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且．
证明：数列为等比数列，并求出的通项公式
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在高为的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上不同于，两点，连接并延长至点，使．
证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且．
求的大小；
若，求的范围．
18.本小题分
已知曲线的方程为，曲线的左顶点为，右焦点为，动直线与曲线交于，两点．
求曲线的离心率；
设直线，的斜率分别为，，且满足，证明直线恒过定点；
若过点，且，关于原点对称，是否存在直线，使得四边形的面积为？若存在，求出直线的条数；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为．
若，求和；
若最粗的甘蔗是第棵，求；
当趋向于无穷大时，从理论的角度即，求的最大值及取最大值时的值取
参考答案
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10.
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12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
又，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则．
由知，
所以，
所以，
则，
两式相减得
，
所以．
16.解法一几何法
证明：取的中点为，连接，；
，
，
，
、、、四点共面，
又由图可知，
平面平面，
且平面平面，
平面，
平面，
又平面，
．
在直角梯形中，，，
≌，
，
，
．
，且平面，平面，
平面．
解法二向量法
由题设知，，两两垂直，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设的长度为，
则相关各点的坐标为，，，
，，．
点为中点，
，
，，，
，，
，，且与不共线，
平面．
，，
，
则，
，．
设平面的法向量为，
，
，令，则，，则，
又显然，平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：因为，
由正弦定理得．
即，
因为在中，，
所以，
又，所以．
因为，，结合正弦定理，得．
所以，．
在中，．
所以．
因为为锐角三角形，
所以，解得．
则．
所以．
所以．

18. 证明：由，设直线：，，，
直线，的斜率分别为，，且满足，
联立，
得．
则，，
，，
则，
即．
化简可得：，
解得，
则直线过 存在，条
19.解：由题意可知．
依题意，棵甘蔗的位置从第棵到第棵排序，
有种情况，同学乙要取到最粗的甘蔗，有以下两种情况：
最粗的甘蔗是第棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况；
最粗的甘蔗是第棵，第二粗的甘蔗在第个或第个或第个位置，
其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况．
因此，．
故．
法：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第棵，共有种排法，
先从其余棵甘蔗中选棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前个位置，剩下的全排列，共有种排法，剩下的棵甘蔗全排列，
所以
．
法：若最粗的甘蔗是第棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前棵甘蔗中最粗的那棵排在前棵，所以．
记事件表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件表示最粗的世蔗排在第个位置，则，
由全概率公式可知．
当，即最粗的甘蔗在前个位置中，此时，
当时，最粗的甘蔗被乙游客取到当且仅当前棵甘蔗中最粗的一棵在前棵之中，此时，
．
令，则，
由，可得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为．

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