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河南郑州市2026届高三高中毕业年级第二次质量预测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则的值所在的区间是( )
A. B. C. D.
4.已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.设是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则( )
A. B. C. D.
8.若方程的三个根，，成等比数列，则该数列的公比为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校社团组织全校学生参加伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩满分分，最低分分中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是
A. 的值为
B. 估计样本成绩的众数约为
C. 估计样本成绩的上四分位数约为
D. 若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于分
10.已知函数，函数，则( )
A. 当时， B. 和的奇偶性相同
C. 和的周期相同 D. 和的最值相同
11.已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点则( )
A.
B. 当时，直线的方程为
C. 当四点共圆时，
D. 点落在定直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的所有极值点之和为 ．
13.已知为等差数列，记公差为，前项和为，，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为 ．
14.已知一个圆锥的底面半径为，表面积为若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其它两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，为边上的一点，满足，且．
求；
若，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，平面平面，，，四棱锥的体积为．
求证：；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
函数，，为自然对数的底数．
当时，过点可以作曲线三条切线，求实数的取值范围；
若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，点在双曲线上；
求双曲线的标准方程；
设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值；
如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；
19.本小题分
某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为．
当时，求最终拿到标号为的奖券的概率和拿到标号为的奖券的概率．
若．
求最终拿到标号不大于的奖券的概率；
求随机变量的期望用表示．
当时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为为上一点，满足，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，即．
由知，设，则，
又因为，设，则，，
在中，，
在中，，
所以，所以，
在中，．

16.解：设，连接，过点作于点
由平面平面，平面平面，平面，
故平面，又平面，故，
由底面，平面，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故；
由题意，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、，
设，则，又，
则由可得，即，
由四棱锥的体积为，即，
则，则，
，
则，
故，
故
，
整理得，解得负值舍去，
故，即，则，
、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有
取，则、，，，
即可取、，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．

17.解：当时，函数，定义域为，
，
设切点为，则切线斜率，
切线方程为：
将代入，得，
因为切线过点，则，
则，即令，
问题转化为方程有三个不同的实根，
设，则需与有三个交点．
，
令，得或。
当时，，，，则，单调递增；
当时，，，，则，单调递减；
当时，，，，则，单调递增，
故在处取得极大值，；
在处取得极小值，，
当时，方程有三个不同实根，即过点可作三条切线，
因此，的取值范围是
，，要使对任意成立，即，
故，存在使得该式成立，即．
，
令，得，
设是方程的解，则，
此时在处取得最大值，
则，
设，
，
令，得或。
当时，，，，则，单调递增；
当时，，，，则，单调递减；
当时，，，，则，单调递增，
故在处取得极小值，，
又当时，，，；
当时，，因此的最小值为，
因为，
所以的取值范围是．
18.解：因为焦点到一条渐近线的距离为，即．
又点在双曲线上，所以，解得．
所以双曲线的方程为．
圆的圆心，半径为．
因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，．
所以．
设，因为是双曲线上的动点，所以．
所以．
当时，取得最小值，此时．
所以．
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立，整理得：．
且．
设，则．
直线的方程为．
令，则，即．
同理可得，．
因为关于原点对称，所以，
即．
整理得．
即．
整理得，即．
所以或．
若，则，则直线方程为，即，
此时直线过点，不符合题意．
若，则直线方程为，恒过定点．
所以为定值，又，在中，为斜边，
所以当为中点时，．
因此存在点，使得为定值．

19.解：表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于，
则两次都不超过；
两次都不超过两次都不超过．
最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为，
因此．
由于，
随机变量的期望得
．
，
则随机变量的期望为
．
设，，
当时，，等号成立；
当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
设，
又因为，
所以，所以．
综上所述，．

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