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江西赣州市兴国中学等校2025-2026学年高三下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.，则( )
A. B. C. D.
4.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有个零点，至多有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，若满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为
10.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为棱上一动点，设，，则下列说法正确的是( )
A. 无论为何值，都有
B. 当时，平面平面
C. 当时，过点和的平面截四棱锥所得截面面积最小值为
D. 四棱锥的体积最大值为
11.已知实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，且，，则 ．
13.某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从名男教练和名女教练中选调人组成评委团，若评委团中至少要有名男教练的条件下，有名女教练的概率为 ．
14.已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某影视数据平台对最近上映的电影飞驰人生进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况．累计票房单位：千万元与上映天数单位：天的数据如下表所示：
上映天数
累计票房
利用表中的数据，计算相关系数结果精确到，并推断两个变量的线性相关程度；
求关于的经验回归方程，并预测上映天时的累计票房结果精确到．
参考公式：经验回归方程，其中，，相关系数参考数据：，，，．
16.本小题分
如图，在锐角中，，，．
求的长；
若点在边上，且，求．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，，，．
求证：平面平面；
若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角．
18.本小题分
如图，设是椭圆上一点，左、右焦点分别是，，当的重心为时，的垂心为从原点向圆作的两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，．
求椭圆的方程；
是否存在使得为定值，若存在，求出和的值，并求出此时的最大值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
设定义在区间上的函数，其中，为正整数．
求函数的单调性及最小值：
求曲线上的点到点距离的最小值；
若，其中为正整数，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，，，
，，，
则
，
所以两个变量具有很强的线性相关程度．
由题意得，，
，
所以经验回归方程为，
令，得千万元，
所以预测上映天时的累计票房为千万元．

16.解：因为，则，又，，
由可得，又，，
所以，所以，
又，由正弦定理，得到，解得．
由知，，，
则，所以，则，
又，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得．

17.解：
由平面，平面，得，
在底面中，，，，，
故，过作，垂足为，
由得，，
又，故，可得，
因此，
由勾股定理逆定理得，
又因为，平面，故平面，
又平面，因此平面平面；
如图以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设，则各点坐标分别为：，
所以，，
设平面的法向量为，
则
令，解得，所以，
所以点到平面的距离为，
解得：，即平面的法向量
设平面的法向量为，由，
则
令，解得，所以，即平面的法向量为，
所以，
因为平面与平面所成的角为锐角，所以平面与平面所成的角的大小为．

18.解：设椭圆的两焦点坐标为，，
的重心为，即，
由题意知，解得，则，
又因为的垂心为，所以，
，，
所以，解得，
所以，解得
所以椭圆的方程为．
直线，的方程分别为，，
因为直线，与圆相切，
所以，，
即，，
所以为方程的两个解，
所以，
又，所以，
若为定值，则，解得，此时，
设，，
所以，即，
因为均在椭圆上，所以，，
所以，
化简得，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以此时的最大值．

19.解：已知，则，
当时，
，
所以是的零点，
因为，且
当时，，
所以当时，，单调递减，
当时，，
所以当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，，
所以在单调递减，在单调递增，最小值为．
设点到点距离为，则
由知，当时，函数在处取得最小值，
所以在处取得最小值，
所以的最小值为．
已知，则，
由可知，，
所以，
因为，
所以，
所以．

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