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安徽安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数在复平面内对应的点为，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知四边形为平行四边形，、、，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若的展开式中二项式系数和为，则二项式展开式中第项系数为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙等人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为( )
A. B. C. D.
7.过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列的公比大于，，则下列判断正确的是( )
A. 任意，有
B. 数列中，，，则
C. ，在区间中项的个数记为，则
D. 任意，，则整数的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是概率均不为的随机事件，下列说法正确的是( )
A. 若，则事件与为对立事件
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.在中，A、B、所对应的边分别是、、，且，下列结论正确的有( )
A.
B. 若，，则满足条件的有个
C. 如，为中点，则最大值为
D. 若有两解、，则
11.正三棱锥中，点、、分别是侧棱、、的中点，，则下列结论中正确的有( )
A. 平面
B. 过的平面截该三棱锥所得截面三角形周长的最小值为
C. 棱长为的正四面体可以在棱台内随意转动
D. 在三棱台中，若一质点从出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动，设在次运动后质点仍停留在下底面的概率为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据、、、、、、、、、的第分位数为其中，则最小值为 ．
13.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，把角按顺时针方向旋转后与单位圆相交于点，则 ．
14.焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点是与的公共点且，点在轴上，满足，若，则与的离心率之积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为数列的前项和，已知，与的等比中项为，且为等差数列．
求数列的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
16.本小题分
在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军规则如下：共次竞答机会，每次竞答两人均从，两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；甲答对、箱中一个公式的概率分别为，；乙答对、箱中一个公式的概率均为；每答对箱中一个公式得分，每答对箱中一个公式得分；次竞答后总得分最高者获得冠军．
规定甲前两次都从箱中选择，后三次都从箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少分的概率．
若前两次甲、乙均从箱中选择公式，两次竞答后甲得总分分，乙得总分分后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
求证：平面；
若，，，，是线段上一点且，线段与过、、、四点的球面是否有公共点若有公共点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知点为圆上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知点、，为直线上的动点，连接交曲线于，连接交曲线于．
证明直线过定点；
若线段上存在点，有，连接与交于点，求证：．
19.本小题分
已知函数，．
若仅有一个零点时，求的取值范围；
函数，且．
讨论的单调性；
若存在，使得，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为与的等比中项为，，所以，所以，即，
设等差数列的公差为，因为，所以，即，，
所以，即．
当时，，
当时，，满足上式，
所以．
由知
则
．
所以数列的前项和为．

16.解：甲至少分有两种情况：
前两次甲得分，后三次甲得分
前两次甲得分，后三次甲得分
故概率为，
后三次甲选A袋，甲五次总得分可能为、、、，
，
，
，
随机变量的分布列为：
分
后三次乙选B袋，乙五次总得分可能为、、、，
，
．，
，
随机变量的分布列为：
分
所以，故甲获得冠军的可能性更大．
17.解：平面内取一点，作于点，作于点．
因为平面平面，平面平面，
平面，，
所以平面．
又平面，所以．
同理，，平面，所以平面．
假设线段上与过、、、四点的球面有公共点，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
则，即，，，，
所以，
设，则，
所以，所以，所以．
设球心，半径，因为，．
所以球心一定在线段的中垂面上．
所以，，则球心．
由得，解得．
则球心，半径，
设，则，
所以，解得或舍，
所以，所以存在点满足题意．
，平面法向量，
设与平面所成角为，
则．

18.解：设，由过点作轴的垂线，垂足为，得．
又因为，且，
所以，即，又因为在圆上，
所以圆，整理得曲线的方程：．
设点，当时，则的方程：如图：
联立可得，解得或．
所以，．
同理得：的方程：，
联立，可得，解得或．
所以，所以，
，
直线的方程：，，
即直线的方程，故过定点．
当时，易得直线为轴，显然直线过定点．
综上：过定点．
证明：若，不妨设，设，设，
所以，
又，
所以，解得，
因为在曲线上，所以，
，，
代入可得：．
若，则，所以重合，不符合题意，故．
，
，即
故点在直线上，过．
联立，解得，所以．
因为共线，所以线段的长度比等于它们纵坐标差的绝对值，
即，
，
所以，得证．

19.解：由得，当时，，显然不成立，
则，
令，则，
令，解得；令，解得；
的递减区间为，递增区间为，
则，
且，
函数与的图象如图，
故当仅有一个零点时，的取值范围为．
，，
当时，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
当时，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
当时，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
由知，设，
其中，
则
，
在单调递增，
，即，
，
在单调递增且，
，即．
再设，其中，
则．
且，
，
在单调递增，
，即，
在单调递增，
且，即
由、得：，
．

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