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2026学年八年级数学下学期期中复习卷（19-21章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A．，，． B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，13，17
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的平行四边形是正方形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
6．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．任意四边形
8.如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　）
A．10 B． C． D．14
9．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：_________________ ．
12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接EF，若，则的长为______．
13．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为________．
14．若实数满足，则______．
15．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °．
16．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使，连接，过点A作于点F，若，，则的长为__________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．）
17．（8分）计算：
(1)； (2)．
18．（8分）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
19．（8分）如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求为何值时，四边形为矩形．
20．（8分）已知：，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)
21．（8分）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只．
(1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？
(2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？
22．（8分）在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简：．
(2)矩形的面积为，一边长为，求它的周长．
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上．
(1)填空：点的坐标为 ， 度．
(2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
①如图2，当时，求的长度；
②求证：四边形是菱形．
24．（12分）在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝2，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长为
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ．
故选B．
2．D
解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，该选项符合题意；
故选：D．
3．C
解：A．由，则不能组成直角三角形，不符合题意；
B．由则2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意；
C．由，则5，12，13能组成直角三角形，符合题意；
D．由，则8，13，17不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
4．D
解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
5．B
解：邻边相等的平行四边形是菱形，故A是假命题，不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是真命题，符合题意；
四个角都相等的平行四边形是矩形，故C是假命题，不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．D
解：如图，
∵投壶内部底面直径，内壁高，
∴箭在投壶内部的最大长度
∵箭总长为，
∴箭在投壶外面部分的最小长度为：，
箭在投壶外面部分的最大长度为：，
∴箭在投壶外面部分的长度不可能为．
故选：．
7．D
解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、，
∴是的中位线，
故且；
同理：且；
∴且，
∴四边形为平行四边形，
故选D．
8.C
解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵点O是的中点，E为的中点，
∴，，
在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，．
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O是的中点，
∴．
∴的周长为．
9．D
解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC -GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
10．D
解：由折叠可知：，，，
，
在和中，
，
，
，
，故正确；
，
，
由折叠可得，，
，故正确；
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
五边形的周长是：，故正确；
故选：D．
二、填空题
11．
解：原式
．
故答案为：．
12．12
解：∵点E，F分别是，的中点，若，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：12．
13．
解：设左下角的字母为，如图所示．
在中，，，，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
14．22
【详解】解：根据题意，得：
，
即，
由，
得+，即，
两边平方，得，
．
故答案为：．
15．120
解：连接，由题意得，
∵菱形的边长，
∴，平分，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：120．
16．
解：在矩形中，，，，，
∴，
∵，则，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：连接，
∵∠B=90 ，，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，∠B=90 ，
∴，
∴.
（2）解：四边形的面积的面积的面积
．
19．（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：当或时，四边形为矩形，
理由：要使四边形为矩形，只需要，
当点在的下方时，如图所示，
，
此时四边形为矩形，，
，
，
当点在的上方时，如图所示，
，
此时四边形为矩形，，，
，
，
综上所述：或时，四边形为矩形．
20．（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
21．（1）解：，，，
，，
，
，，
∴在中，由勾股定理得，
，
答：巡逻艇的速度为每小时48海里；
（2）解：作于，
，
，
答：此时该船只所在处C与的距离为海里．
22．（1）解：
；
（2）解：∵矩形的面积为，一边长为，
∴其邻边长为，
∴该矩形的周长为．
23．（1）解：∵点，的坐标分别是和，
∴，．
∵°，
∴，
∵以线段为边向右侧作菱形，
∴，，
∴，．
∴．
故答案为：，．
（2）①解：当时，点在上时，作交于，如图，
由（1）可知，，，，
∴， ，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②证明：连接，设交于点，如图所示，
由（1）可知，四边形是菱形，，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴， ，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
在和 ADE中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
24．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DG⊥AE，BF⊥AE，
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△AFB和△DGA中，
，
∴△AFB≌△DGA（AAS）；
（2）证明：过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAH=∠ADE=90°，AB=AD=CD，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，
∴∠DAE=∠ABH，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵点E为CD的中点，
∴DE=EC=CD，
∴AH=DH，
∴DE=DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，
∴四边形DKFJ是矩形，
∴∠JDK=∠ADC=90°，
∴∠JDH=∠KDE，
在△DJH和△DKE中，
，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ=DK，JH=EK，
∴四边形DKFJ是正方形，
∴FK=FJ=DK=DJ，
∴DF=FJ，
∴FH+FE=FJ -HJ+FK+KE=2FJ=DF；
（3）解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，
设PT=b，
由（2）得：△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵∠EDH=90°，点P为EH的中点，
∴PD=EH=PH=PE，
∵PK⊥DH，PT⊥DE，
∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，
∴四边形PTDK是矩形，
∴PT=DK=b，PK=DT，
∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，
∴DH=2DK=2b，DE=2DT，
∴AH=DE=2-2b，
∴PK=DE=1-b，QK=DQ -DK=1-b，
∴PK=QK，
∵∠PKQ=90°，
∴△PKQ是等腰直角三角形，
∴∠KQP=45°，
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形，
∴QR=DQ=，
∴点P的运动轨迹的长为．

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