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7.3《定义、命题、定理》同步练习
一、单选题
1．下列选项是命题的是（ ）
A．作直线 B．今天的天气好吗？
C．连接、两点 D．同角的余角相等
2．如图，已知，直线与直线有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（ ）

A．31次 B．33次 C．17次 D．25次
4．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
5．某次素养竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这五道题的得分情况：
题号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分
甲 C A B C B 4
乙 C B B C C 3
丙 C C B B B 2
丁 C C B B A
则丁同学的得分是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：
7．能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是 ．（只写一个）
8．某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ．
9．数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ．
10．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初三（6）班举办了“古诗词”大赛，现有小中，小雅，小双三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分均分别为a，b，c，（且a，b，c均为正整数），选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据所给信息， ，判断小中同学共得到了 轮第一名．
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小中 a a 27
小雅 a b c 11
小双 c b 10
三、解答题
11．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题．
12．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
13．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题
（2）写出一个真命题，并证明．
14．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题．
(1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号）
(2)请证明你选择的命题．
15．【问题提出】
甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略．
【问题探究】
（1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律：
石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7
先手是否有必胜的策略 是 是 否
结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
（2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）．
当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略．
当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
（3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
【问题解决】
当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？
【问题拓展】
若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜．
参考答案
一、单选题
1．D
解：A、作线段为描述性语言，不是命题；
B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题；
C、连接、两点为描述性语言，不是命题；
D、同角的余角相等，是命题，
故选：D.
2．B
A．∵，
∴，
∴此命题不符合题意；
B．∵与虽然是内错角，但与不平行，
∴．
∴此命题符合题意；
C．∵与是同旁内角，不是内错角，
∴此命题不符合题意；
D．∵与是同旁内角，不是内错角，
∴此命题不符合题意；
故选：B
3．A
解：移动一个圆片，至少移动1次，而，
移动两个圆片，至少要移动3次，而，
移动三个圆片，至少要移动7次，而，
∴移动五个圆片，至少要移动（次），
故选：A．
4．A
解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则，
故选：A．
5．C
解：解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，2，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于丙来看，第1，3，5道选对了，至少得分为3分，而丙得分2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第2，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
故甲选错第5题，第5题选B错误，其余各题均选对，据此，乙前4题选对了第1，3，4题，得3分，因此乙选C错误，
因为每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的，
所第5题正确答案为A，
所以五道题的正确选项分别是：，对照丁的答案可得丁选对了第1，2，5题，得3分，
故选：．
二、填空题
6．如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等
解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ．
7．0
解：当时，符合条件，
但，
∴命题“如果，那么”是假命题,
故答案为：0（答案不唯一）．
8．C，A，D，B
解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
9．
解：五人依次记为，从开始报数：
如下表：
（小明） （小华）
第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数
第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数
第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手
第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数
第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数
第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数
∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”
∴游戏结束时对应的数字是；
故答案为：
10． 5 5
解：由题意可得：，
∴，
∵a，b，c均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为，
∴a必大于4，
又∵，
∴最小取3，
∴，
∴，，，
∵小中同学最后得分27分，
∴他5轮第一，1轮第二．
故答案为：5，5．
三、解答题
11．证明：两个不相等的角互为补角，
这两个角一个角大于，一个角小于，
即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题.
12．如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．
题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；
结论：它们互相垂直．是真命题；
如图，，是邻补角，，分别平分，．
13．（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①② ③；②③ ①；①③ ②．
（2）以上3个命题都是真命题．
(i)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴m∥n；
(ii)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠BDC；
(iii)∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴b∥c，
∴∠AFE=∠FED．
14．（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是；
②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是；
③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是；
（2）解：①如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③如果，，那么；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．解：问题探究：（1）当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜；
当时，先手取2颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜；
当时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，即可后手必胜；
当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜；
∴填写下表并总结规律：
石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7
先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是
结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
故答案为：是，是，否，是，；
（2）当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略．
当时，先手第一次取1颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
故答案为：，；
（3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，则后手必胜，即后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
故答案为：；
问题解决：∵，
∴选择先手可以必胜，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜．
故答案为：先手；
问题拓展：若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取颗，后面不管后手怎么取都可以保证先手获胜．
故答案为：．

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