资源简介

北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是( )
A. 是棱台 B. 不是圆台 C. 是棱锥 D. 是棱柱
3.已知向量，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.若，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法不正确的是( )
A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 正棱柱的高与侧棱长相等
6.在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则( )
A. B. C. D.
7.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.“、、、四点共线”是“与共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.在中，，，，为的中点，点在线段上，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.如图所示，已知正方形网格中每个小正方形边长为，则向量与夹角的余弦值为 ．
12.在中，，，，则 ．
13.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则 ；等于 ．
14.如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为 ．
15.如图正八边形，为正八边形中心，已知，为正八边形边上的动点，给出下列结论：
与夹角为
在上的投影向量为
的最大值为
存在点，使得
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知平面向量，．
若，求实数的值；
设，若三点共线，求的值．
17.已知的周长为，，．
求；
求的面积．
18.如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点即，设，．
用基底表示向量，，；
若点为线段上的动点，求的最小值．
19.在中，内角对应的边分别为，且．
求角；
已知，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.在中，内角对应的边分别为，是的角平分线．
证明：；
已知，，，，求的最小值．
21.设是给定的正整数，，其中，定义已知集合若集合满足下列两个条件，则称集合具有性质．
条件：对于集合中任意一个元素，都有为奇数；
条件：对于集合中任意两个不同元素，，都有为偶数．
判断集合和是否具有性质；
若，且集合具有性质，求集合中元素个数的最大值；
若集合具有性质，求集合中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：因为，，所以，
因为，所以，
整理得，解得或．
法一：因为，，三点共线，
所以，
因为，，
所以，所以．
法二：因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，
所以即．

17.解：因为周长为，．
所以，即．
由余弦定理可得．
所以，，解得．
因为，
所以
由可知
所以．

18.解：
．
设，，
则，
，
所以
当时，取得最小值为．

19.解：方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径，
代入，得，
即．
由，，故．
因为，所以，又，所以．
方法二：因为，
由余弦定理得，
化简得即．
又，所以．
选条件：，，，
因为，所以，．
则
．
三角形内角正弦值必为正，故不存在．
选条件：，，．
由余弦定理，得，
即，整理得，解得或舍去．
故，三角形唯一确定．
因为为边上中线，由向量关系得，
两边平方得，
代入，，，
得，所以．
选择条件：，，，
为边上中线，所以，
，
代入，，，
得，所以，三角形存在且唯一．

20.解：在中，，即，
在中，，即，
因为是的角平分线，
所以，，
因为，
所以，即．

因为，，，
所以，又，
所以，所以．
因为，所以在直线上，
当时，有最小值．

在中，，
由解得．
由得，所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以的最小值为．

21.解：集合具有性质，集合不具有性质．
集合中的每个元素含奇数个，所有含有奇数个的元素共有个，
将所有含有奇数个的元素分成如下组：
，，
，
一方面若集合中有个元素，
由抽屉原理中至少有两个元素来自，
因为每个集合中的元素不能同属于集合，
所以集合中元素个数不超过；
另一方面，，具有性质；
所以集合中元素个数最大值是．
设集合中元素个数为，
一方面，
若，记，
对于任意一数组，其中，，
可生成一个维向量．
记，
其中，，
上式左边的数组，共有个，上式右边的数组，至多有，，
由抽屉原理可得，一定存在不同的数组，，
使得，
记，
则不全为，且，
易知对任意的，，，
有，，
，
，
与不全为矛盾，故；
另一方面，构造，
满足条件，此时中有个元素，
所以集合中元素个数最大值是．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑