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江苏省扬州市邗江区2025-2026学年高二下学期期中调研
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数，则在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.设，向量，，，则( )
A. B. C. D.
3.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.在下列条件中，使与，，一定共面的是( )
A. B.
C. D.
5.用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有( )
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要名宇航员同时在个舱中开展，每个人只能去个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
10.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示下列关于函数的结论不正确的有( )
A. 函数的极大值点有个
B. 函数在上是减函数
C. 若时，的最大值是，则的最大值为
D. 当时，函数有个零点
11.在棱长为的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是( )
A. 若点在平面内，则必存在实数，使得
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 点到直线的距离为
D. 存在实数、使得
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.用，，，这九个数字，可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为 用数字作答
13.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 用坐标表示
14.已知函数在区间上的最小值为，则实数的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.某班进行“数学与生活”演讲，有名男生和名女生参加，现要排出一个演讲次序．结果用数字作答
若名男生相邻，共有多少种不同的排法？
若名女生不相邻，共有多少种不同的排法？
若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？
16.如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．

试用向量，，表示向量；
若，，求的值．
17.已知函数是函数的一个极值点．
求函数的单调区间；
当时，求函数的最小值．
18.如图，在三棱柱中，平面，，，，
点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求二面角的正弦值；
求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离．
19.已知函数．
求函数的最大值；
若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
若函数在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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15.解：若名男生相邻，有种情况，将名男生看为一个整体，和名女生进行排列，有种情况，
所以共有种不同的排法．
若名女生不相邻，先安排名男生，有种情况，
再将名女生插入到名男生形成的个空中，有种，
所以共有种情况．
男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法
男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的个位置任选个，有种，
而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的个中任选个，有种，
其他人全排列，只有种不同排法，共有种排法，
综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法．
16.解：因为点为的中点，
所以，
因为，所以，
所以
；
由题意得，
故
．

17.解：由题意得，
因为是函数的一个极值点，
所以，即，
当时，解得或，
所以在和上单调递增；
当时，解得，所以在上单调递减，
因此是函数的一个极值点，
所以函数的增区间为和，减区间为；
由可知：函数的增区间为和，减区间为，
所以是函数的极小值点，且，
所以是函数的极大值点，且，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以当时，函数的最小值为．

18.解：证明：因为在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，又，
所以以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，．
因为，，所以，
因此．
由知三棱柱为直三棱柱，，
则是平面的一个法向量，，．
设为平面的法向量，则，即
取，则，，所以．
又因为，所以，
因此，二面角的正弦值为．
由可得，又由知为平面的法向量，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
又，所以点到平面的距离．

19.解：，定义域为，，
令，得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
由可知，的最大值为，所以，即，
所以实数的取值范围为．
若函数在上恒成立，即在成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
因为，所以当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；
当时，令，
当时，即时，则恒成立，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以时符合题意；
当时，即时，令，
则，
因为，所以，
所以当时，，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增，所以当时，，
所以时，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．

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