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北京市第二十中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷
高一数学（启承）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，且，，则( )
A. B. C. D.
2.等比数列，，，，的项数为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象与直线相切于点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，下面说法正确的是( )
A. 在上的平均变化率为 B.
C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为
6.已知函数的导函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是极大值点
C. 的图象在处的切线的斜率等于
D. 在区间内一定有个极值点
7.张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织尺，最后一天织尺，三十天织完，，则该女子第天织布( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
8.已知函数在处取得极小值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.数列是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数，若有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数，则 ．
12.若等比数列的前项和，则公比 ．
13.已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是 ．
14.已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为 ．
15.如果数列满足不等式其中，我们就称这个数列为“数列”，对于以下关于“数列”的四个结论：等差数列均为“数列”；“数列”一定是递增数列；“数列”通项公式可以是；“数列”中对于任意，都满足所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，，．
求的值；
求的面积．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间．
若对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知无穷等比数列的各项都是正数，，．
求数列的通项公式；
设无穷数列的前项和为，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使数列唯一确定，求数列的前项和．
条件：，；
条件：，；
条件：，．
注：如果选择的条件不符合要求，此题得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
19.本小题分
已知数列的前项和为，．
求的值；
证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？结论不要求证明．
20.本小题分
已知函数．
若，求的极小值；
当时，求的单调递增区间；
若有极大值，求的取值范围．
21.本小题分
已知数列是无穷数列，．
若，，写出，的值；
已知数列中，求证：数列中有无穷项为；
已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数求证：数列是递减数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.； ．
17.解：由已知，
令得或，
令得，
所以的单调增区间是，，
单调减区间是；
由知在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
又，，
所以在上的最小值为，
依题意有，
解得．

18.设各项都是正数的无穷等比数列的公比为，
由题意知，解得，舍．
所以的通项公式为．
选条件
因为，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以．
．
选条件
由题意知，当时，．
因为，所以．
．
选，，则是等差数列，但无法确定公差，不满足题意．

19.解：由，可得，解得，
时，，即，解得，
时，，即，解得；
当时，由，可得，
两式相减可得，整理为，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，即；
不存在
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，即为，
化为，可得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立．
故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．

20.解：当时，，，
令得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，极小值为；
函数的定义域为，，
令得，，
因为，，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以函数的单调递增区间为；
由知，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，是函数的极小值点，无极大值点，即不存在极大值；
由知，，令得，，
当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，是的极小值点，存在极大值，满足题意；
当时，，恒成立，
故在上单调递增，无极值，不满足题意；
当时，，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以是函数的极大值点，是的极小值点，存在极大值，满足题意；
综上，当时，函数存在极大值．

21.解：，，，，；
，假设，
若，则；
若，则，；
若，则，，
，，；
由以上过程可知，若，在无穷数列中，第项后总存在数值为的项，依次类推，数列中有无穷项为；
由，，可知，
数列中任何一项都不等于，，
若，则，
，即．
若，则，即；
若，则，
即，
所以，即；
若，则，
，即，
，即，
所以，即．
综上，对于一切正整数，总有，所以数列是递减数列．

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