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湖北咸宁市崇阳县第一中学等校2025-2026学年高二下学期数学学科素养测评试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的，，，被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第个数为( )
A. B. C. D.
2.某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，若质点在这段时间内的平均速度等于时的瞬时速度，则( )
A. B. C. D.
3.有封不同的信投入个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为( )
A. B. C. D.
4.若成等差数列；成等比数列，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
6.在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆圆周的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的倍，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛。“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中出现如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是( )
A. 第行中第个数最大
B. 第行中从左往右第个数与第个数相等
C.
D. 第行中第个数与第个数之比为
8.若函数有两个极小值点、，且存在满足条件的、使得有解，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的首项，则( )
A. 是等比数列
B.
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项和小于
10.下列说法正确的有( )
A. 甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则有种排法
B. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则有种排法
C. 将本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有种不同的分法
D. 将本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有种不同的分法．
11.已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于、两点在第一象限，与准线交于，过、分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是( )
A. 若，则的斜率为
B. 若为等边三角形，则
C. 若，则直线的倾斜角为
D. 若的面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的值被除的余数为 ．
13.已知数列的前项和为，且，若保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 ．
14.已知对定义域内任意，都有成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在的展开式中常数项为，且．
求二项式系数最大的项和系数绝对值最大的项．
从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
16.本小题分
已知函数，在处切线的斜率为．
求的单调区间．
若在上取到最小值，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列的前项和满足．
证明数列为等差数列．
求数列的前项和．
若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆焦距为，短轴长为．
求椭圆的方程．
若椭圆与轴的交点为，点位于点的上方，直线与椭圆交于不同的两点，设直线与直线相交于点试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
19.本小题分
对，若函数在有，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若满足，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
判断函数的凹凸性．
若，令，求的最小值．
为问所得结果，证明不等式：．
参考答案
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14.
15.解：二项式的展开式通项为：
，
令，解得，常数项为：
，
解得，又，故，
故二项式系数最大的项为第项：，
系数绝对值为，令，解得，所以或，
故系数绝对值最大的项为第项和第项，
第项：，
第项：．
当为整数时为有理项，即共项，其余为无理项共项，
总取法为，全为无理项的取法为，不可能四项全为有理项．
故既有有理项也有无理项的取法为：．
16.解：由题意，在处切线的斜率为，
，则，
，
令，解得或，令，解得，
的增区间为，减区间为．
由题意可知，，
由知，在，上单调递增，在上单调递减．
又，当时，，
令，则，即，解得或，
当时，，
的取值范围为．

17.解：由题意知：当时，，得，
当时，，又，
两式相减得，即，
，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
由知：，即，
则，
，
．
不等式等价于，
记，则，所以，
时，，
当时，，即，
当时，，即得，
所以．

18.解：依题意可得，解得，则，
所以椭圆的方程为；
点在定直线上，理由如下：
设点，
联立，与直线联立消去，整理得，
由，得
且，所以，
易知，则，
两式作商得，解得，
故在定直线上．

19.解：由题意得，则在上恒成立，
所以为的凸函数．
设函数，则，
则在恒成立，
所以在为“凹函数”．
当时，
则，
即，当时，等号成立，
由，得，
最小值为．
由可知：，则，即证，
两边取对数，即证：，
由可知，令，构造，
当时，恒成立，所以在上为单调递增函数，
所以，
令，所以，
所以
累加可得：，证得不等式成立．

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