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河南名校联盟2025-2026学年高一下学期期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ．
A. B. C. D.
2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为 ．
A. B. C. D.
3.已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是( )
A. 若上有无数个点不在内，则
B. 若，则与内的任意一条直线都没有公共点
C. 若，则平行于内的任意一条直线
D. 若，且，则
4.设复数，则“”是“”的 ．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知的三个顶点分别为，，，则是 ．
A. 的直角三角形 B. 的直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
6.在中，，，交于点，设，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，且，，则 ．
A. B. C. D.
8.在中，，，且的面积为，则 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若为非零向量且，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
10.下列关于复数，的说法正确的是 ．
A. 若，则为实数或纯虚数 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为的菱形，设，则下列说法正确的是 ．
A. 当增大时，四棱锥的体积逐渐增大
B. 若，则三棱锥的体积为
C. 若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为
D. 若，则三棱锥的内切球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为的正方形的直观图的面积为 ．
13.已知某圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为___ __．
14.如图，等边三角形是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．
求实数的取值范围；
已知为坐标原点，若为整数，且，在复平面内对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.本小题分
已知，为不共线的单位向量，，．
若且，求，的夹角的余弦值；
若，的夹角为，且，求实数的值．
17.本小题分
某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成如图所示已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为取的近似值为
求该灯塔主体结构的体积；
已知物料费用由两部分组成：主体结构材料费为每立方米元，外部装饰涂料费为每平方米外表面积元不包括底面人工施工费为总物料费用的若景区预算为万元，问：该预算是否够用？
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求．
已知平分且交于点，．
(ⅰ)若，求；
(ⅱ)求周长的最小值．
19.本小题分
如图，圆的半径为，，为圆上两点．

若，向量与垂直，求实数的值；
若过的重心的直线与边，分别交于点，，且，，且，求的最小值；
设且为常数，若的最小值为，求的值．
参考答案
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14.
15.解：复数在复平面内对应的点为，
可得，解得，
所以实数的取值范围为．
由可知，当为整数时，，
则，，
所以，可得，
则向量在向量上的投影向量为．

16.解：
则
则 ，
则 ，
则，
则 ．
，
，
，
，
，
，
解得：
当时，，成立，
当时，成立，
或．

17.解：设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为，
则，所以，
所以圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
所以该灯塔主体结构的体积为；
由得：主体结构材料费为元，
又外部的表面积为，
所以外部装饰涂料费为元，
所以总物料费为：元，
所以人工施工费为元，
所以总的费用为：元，
即总的费用为：万元万元，
所以景区预算够用．

18.解：因为，所以，即，
所以，因为，所以；
因为，由正弦定理得：，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
将代入上式得，解得，，
由余弦定理得，解得．
(ⅱ)由，
得，
将代入上式得，即，即，
则，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为；
由余弦定理得，
，
令，则，
因为，当时，的最小值为，
则的最小值为，
所以周长的最小值为．

19.解：因为向量与垂直，
所以，
则，
而，，则，
即，解得．
连接交于点，由于为的重心，

则，
而，，
则，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为．
由于，，则，
所以
，
函数开口向上，对称轴为，
则时，取得最小值，而的最小值为，
则，又，则．

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