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2025—2026 学年第二学期期中调研 7. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系
后，该粒子的运动轨迹如图所示.在 t 0时刻，粒子从点 A 0,1 出发，沿着
高二年级数学
2024 2026.4 轨迹曲线运动到B 1, 1 ，再沿着轨迹曲线途经 A点运动到C 1, 1 ，之后（清华附中志新学校高 级）
考试时间：120分钟 满分：150分 便沿着轨迹曲线在 B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在 t时刻的位置对
一、单选题（共 10 小题，每小题 4 分）
应点P x, y ，则坐标 x， y随时间 t t 0 变化的图象可能是
1. 已知集合 A {x| 1 x 2},B {x|x 1}，那么 A B
A． ( 1, 2) B． ( 1,1) C． ( , 2) D． ( ,1) A．
2 bi
2. 如果复数 (b R)的实部与虚部相等，那么b
i
B．
A． 2 B．1 C．2 D．4

3. 已知向量a 1,m 1 ， b m, 2 ，则“m 2 ”是“ a 与b 共线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 从 4名高一学生和 5名高二学生中，选 3人参加社区垃圾分类宣传活动，其
D．
中至少有 1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为
A．50 B．70 C．80 D．140
5. 已知 x 1，那么在下列不等式中，不成立的是
8. 如图，正六边形的边长为 3，半径为 1的圆O的圆心为正六边形的中心，若
1
A． x2 1 0 B． x 2 C． sin x x 0 D． cos x x 0x 点M 在正六边形的边上运动，动点 A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，

则MA MB的最大值为6. 已知直线 l1：x ＝－1， l2 : x 3y 5 0，点 P是抛物线 y
2 4x上一点，
A．1 B．2
则点 P到直线 l1和 l2的距离之和的最小值为
C．3 D．4
5 7
A．2 B． C．3 D．
2 2
1
9. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数 π
13. 已知 f x acos x sin x 0 , f 0 f 1，则
学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为 3
“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数 N 的 75次方是一个 86
f π π π _________；若 f x 在 ,2 6 2 上单调递减，则 _________．位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到 0.001），可得N 的值为
M 3 5 7 11 13 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道
形状抽象而来.如图所示，在五面体 ABCDEF中，EF//AD//BC，四边形 ADEF ，
lgM 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 ADCB，EFBC为等腰梯形，且平面 ADEF 平面 ADCB .其中 EF a，
A．13 B．14 C．15 D．16 AD = b，BC c（b c a），且EF到平面 ADCB的距离为 h，BC和 AD
10. 在平面直角坐标系中，A，B是直线 x y m上的两点，且 AB 10．若对 的距离为 d，若a 4，b 10， c 6，h 3，d 4，则该“羡除”的体积为
_________.
于任意点P(cos ,sin )(0 2 )，存在 A，B使 APB 90 成立，则m
的最大值为
A． 2 2 B． 4 C．4 2 D．8
15. 2021年 3月 30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的 LOGO（如图
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分） x nC : y
n
所示），设计师的灵感来源于曲线 1 n 0,n R ．当n 4，
1 5 a b11. 在 x 的展开式中， x的系数是__________．
x a 3，b 2时，给出下列四个结论：
12. 设随机变量 X 的分布列如下： ①曲线 C关于原点对称；
X 2 3 6 ②曲线 C所围成的封闭图形的面积小于 24；
③曲线 C上的点到原点 O的距离的最大值为 3；
P 1 m
1
2 6 ④设M 5,0 ，直线 x y 5 0交曲线 C于 P，Q两点，则 PQM 的
周长大于 12．
则m ________；若Y 2X 1，则E Y ________.
其中所有正确的结论有______________（填序号）.
2
三、解答题（共 6 小题，共 85 分；解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过 18. (14分)自 2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上
程） 起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”
16. (14分)在 ABC中，角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c，已知： 相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作 4T，4S，
4F，4Lz的“基础分”如表 1所示.
3sinAsinC sin2A sin2C sin2B.
跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz
(1)求 B；
(2)已知 a 4，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在且 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5
唯一确定，并求 ABC的面积. 表 1
①b 3； 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为
②c 2asinC； “成功”，否则记为“失败”.表 2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.

BA BC 5 . 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98③
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07
别解答，按第一个解答计分． 4F 13.69 5.50 14.02 12.92
4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87
17. (14分)在五面体 ABCDEF 中，CD 平面 ADE ，EF 平面 ADE ．
表 2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
(1)从该选手上一赛季所有 4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
(2)若该选手在本赛季中，计划完成 4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完
成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为 X，求 X的分布列和数学期望；
(1)求证：CD 平面ABEF；
(3)在本赛季中，从四个跳跃动作 4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这
(2)若 AB 2AD 2EF 2，CD 3， ADE 90 ，点 D到平面 ABEF的距 三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.
2
离为 ，求二面角
2 A BF C
的大小．
3
2
C : x y
2
19. (14分)已知椭圆 2 2 1(a＞b＞0)的焦距为 4，F1、F2分别为左右焦点， 21. (15分)如图，设 A是由 n n n 2 个实数组成的 n行 n列的数表，其中a b
1
点 P在椭圆上，满足 PF2 F1F2， sin PF1F2 ． aij i, j 1,2, ,n 表示位于第 i行第 j列的实数，且 a5 ij 1, 1 ．
(1)求椭圆 C的方程；
a11 a12 a1n
(2)若直线 l： y kx
2
与椭圆 C交于 E，F两点，线段 EF的中点为 Q，
2 a21 a22 a2n
在 y轴上是否存在定点 M，使得∠EQM＝2∠EFM恒成立？若存在，求出点 M的
坐标；若不存在，请说明理由．
an1 an2 ann
定义 pst as1at1 as2at2 asnatn s, t 1,2, ,n 为第 s行与第 t行的积．若对
于任意 s, t s t ，都有 pst 0，则称数表 A为完美数表．
(1)当n 4时，试写出一个符合条件的完美数表；
(2)是否存在 2026行 2026列的完美数表，并说明理由；
20. (14分) 2已知函数 f x x a ln(x 1) 4 a R .
(3)设 A为 n行 n列的完美数表，且对于任意的 i 1, 2,L, l和 j 1, 2,L, k，都
(1)当 a 4时，求 f (x)的极值；
有 aij 1，证明： kl≤n．
(2)若对任意 x 2, ，有 f x 0恒成立，求 a的取值范围；
(3)证明：若 f (x)在区间 2, 上存在唯一零点 x0，则 x0 ea 4 1．
4

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