资源简介

二次函数特殊四边形存在问题
一、解答题
1．如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式和点、点坐标；
(2)若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
3．如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标；
(3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，的取值范围是，求的值；
(3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，
①求线段的最大值，
②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
5．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点．
(1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式；
(2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长；
(3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
　
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
8．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值；
(3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，当时，求点的坐标；
(3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积；
(3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标．
11．已知一次函数，若，则称为的升幂函数；若，则称为的降幂函数．若该一次函数的升幂函数经过点，降幂函数经过点．
(1)求此一次函数的表达式．
(2)若，，的图象都交于点和点，且点的横坐标小于点的横坐标，求出点，的坐标．
(3)图象上是否存在点，图象上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在图象对称轴左侧的图象上存在一点，连接，，使得的面积为，交的图象于点，求证：．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标；
(3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标；
(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
15．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点右侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，点在新抛物线上，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)则抛物线解析式中________，________；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
18．如图，抛物线经过三点，交轴于点．
(1)求a，b的值；
(2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积；
(3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点．
(1)求，，三点的坐标；
(2)线段的端点坐标分别是，，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围；
(3)点与点关于点中心对称，过点的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点．试说明轴上总存在点，使四边形是平行四边形．
20．已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接．
(1)如图1，请判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．
22．如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点．
(1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式；
(2)求D点的坐标．
(3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
(4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标．
试卷第10页，共11页
答案
1．(1)，，
(2)点的坐标为或或，四边形是平行四边形．
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，学习数形结合的解题思路．
（1）根据点的坐标，，求出点，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据抛物线与的交点，则，解出，即可；
（2）根据平行四边形的性质，分类讨论当，为边时，即四边形是平行四边形，当，为对角线，即四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，进行解答，即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点，，
∵点的坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴，
解得：，，
∴点．
（2）解：存在，理由如下：
设点，
当，为边时，即四边形是平行四边形，
∴轴，
∴，
∴，
解得：，，
当时，点与点重合，不能构成平行四边形，舍去，
∴点；
当，为对角线，即四边形是平行四边形，
∵点，在轴上，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴点或，
综上所述，点的坐标为或或，四边形是平行四边形．
2．(1)
(2)的最大值为，
(3)或或；过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可；
（2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，取得最大值，为，此时；
（3）解：∵，
∴原抛物线的顶点坐标为，
∵平移后抛物线顶点的横坐标为，
∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当时，，即，
抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴，
综上所述，点的坐标为：或或．
3．(1)抛物线的解析式为，对称轴为
(2)满足的值为最小的点P坐标为
(3)存在，点E的坐标为或
【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴；
（2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P；
（3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标．
【详解】（1）把点、代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
函数的对称轴为直线．
（2）如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为，
易得C点的坐标为，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得，
直线BC的表达式为：，
当时，，
故点．
（3）存在，理由：
如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形，
则，
点E在第四象限，则，
将该坐标代入二次函数表达式得：．
解得：或4，
故点E的坐标为或．
4．(1)
(2)
(3)①；②存在，边长为或2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：，
故；
（3）①当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，
故线段的最大值为；
②存在；
由①知，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
5．(1)；
(2)2
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可；
（3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
点在点的左侧，
、，
当时，，
，
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图，连接，
、，
，
，
是等腰直角三角形，
，
、，
是等腰三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
点的纵坐标为，
令，，
解得或（舍去），
、；
（3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下：
由（1）知、，
设点，点，
分情况讨论：
①当为对角线时，如图：
的中点坐标为，的中点坐标为，
，
解得或(舍去)，
；
②当为对角线时，如图：
的中点坐标为，的中点坐标为，
，
解得或（舍去），
；
③当为对角线时，如图：
的中点坐标为，的中点坐标为，
，
解得或(舍去)，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质、分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
6．(1)，
(2)、、
(3)或
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点和点，即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况列方程求解点；
（3）根据抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
将解析式配方得顶点式：
∴顶点D的坐标为；
（2）存在，
令，则，
∴，
设点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论：
情况1：以为对角线
则中点与中点重合：
解得：
即．
情况2：以为对角线
则中点与中点重合：
解得：
即．
情况3：以为对角线
则中点与中点重合：
解得：
即．
综上，存在满足条件的点，坐标为、、；
（3）存在，理由如下：
当时，，所以，，
∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将，代入得，
，
解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，
解得，，（舍去），
把代入得，，则P点坐标为，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，
解得，（舍去），
把代入得，，则P点坐标为；
当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，
解得，（舍去），则P点坐标为；
综上，P点坐标为或．
7．(1)
(2)取得最大值，此时点的坐标为
(3)存在，满足条件的的坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
抛物线经过点，，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由可得，
,
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，
，即，
b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的的坐标为或．
8．(1)
(2)
(3)存在，M点的坐标为或或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点作轴交于点，当最大时，则最大，求得点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，此时最小，即可求解；
（3）当为菱形对角线时，，列出等式即可求解；当、为菱形对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：将点，点代入，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，
令，则，
，
，
，
轴
，
，
∴当最大时，则最大，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
当时，最大，即最大，
，
∴点；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时，取到最小值，
即的最小值；
（3）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
,
∴抛物线对称轴为直线，
设，，
①当为菱形对角线时，此时，
，
解得，
；
②当为菱形对角线时，，
，
解得，
或，
③当为菱形对角线时，，
，
解得或（与点重合，故舍去），
；
综上所述：点的坐标为或或或．
9．(1)；
(2)或；
(3)
在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或．
【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式；
（2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标；
（3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：在中，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴或，
解得或，
当时，，
当时，，
∴或．
（3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴直线：，
设，
∵，，
∴，
若四边形为菱形，与的交点记为点，
则，，，，
∴，
解得，
∴或，
∴的中点为或，
∴或，
∴或，
解得或，
∴或，
若四边形为菱形，与的交点记为点，
则，，，，
∴，
解得，
∴或，
∴的中点为或，
∴或，
∴或，
解得或，
∴或，
∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或．
10．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解；
（3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可．
【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设点D的坐标为，
如图，过点D作轴于点M，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点为的中点，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
当为对角线时，
，解得：（舍去）或，
此时点D的横坐标为；
当为对角线时，
，解得：（舍去）或，
此时点D的横坐标为或；
当为对角线时，
，解得：（舍去）或，
此时点D的横坐标为；
综上所述，点D的横坐标为或或．
11．(1)；
(2)点的坐标为，点的坐标为；
(3)存在，点的坐标为;
(4)见解析．
【分析】（）根据升幂函数和降幂函数定义，一次函数的升幂函数经过点，降幂函数经过点得出，然后求出，的值即可；
（）由（）得，，，又，是，，图象的交点，令解得，，然后代入验证即可；
（）易知以为对角线的矩形不存在，分别得出直线的表达式为，直线的表达式为，联立，从而得到点的坐标为，同理得点的坐标为，所以，则，然后证明四边形是矩形，从而可得点的坐标为；
（）过点作轴交直线于点，过点作于点，过点作于点，所以，设点的坐标为，则点的坐标为，则，所以，解得，，得点，然后得出直线的表达式为，联立，解得（舍去），，所以点的坐标为，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则，，，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得升幂函数，图象经过点，
∴，
由降幂函数，图象经过点，
∴，
联立，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由（）得，，，
∵，是，，图象的交点，
令解得，，
∵点的横坐标小于点的横坐标，
∴点，，
把点，代入，得，，点，均在图象上，
∴点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：存在，如图，易知以为对角线的矩形不存在，
∴为矩形的一边，
∴直线的表达式为，
设直线与交于点，当时，，
∴，
∴，
∵点，，
∴点为中点，
∵，
∴直线经过原点，
∴设直线的表达式为，
将点代入，得，
∴直线的表达式为，
联立，解得（舍去），，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴设直线的表达式为，
将点代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，（舍去），
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴点的坐标为；
（4）证明：如图，过点作轴交直线于点，过点作于点，过点作于点，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
解得，，
∵点在图象对称轴的左侧，对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴同理得直线的表达式为，
联立，解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
∴，，，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，二次函数的应用——特殊平行四边形，两点间的距离，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
12．(1)二次函数解析式为
(2)
(3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或
【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：二次函数解析式为，
∴当时，，
因式分解得，，
解得，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴设，过点作轴于点，
∴，，
∵满足，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
因式分解得，，
解得，，（舍去），
∴，则，
∴；
（3）解：二次函数解析式为，
∴对称轴直线为，
设，，且，
当四边形是平行四边形时，
∴对角线交点的横坐标相等，即，
解得，，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
解得，，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
解得，，
∴，
∴；
综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
13．(1)
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，
解得或（舍去），
点的横坐标为2，
．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
直线的解析式为，
，
设在直线上，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或（即为点，舍去），
，
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得或（即为点，舍去），
，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
14．(1)二次函数的解析式为
(2)的和的最大值为，点的坐标为
(3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可；
（3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可.
【详解】（1）解：如图，，，，
，
将、代入，
得，
解得， ，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：令，得，
，
设直线的解析式为，
代入，解得，
直线的解析式为 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
当取得最大值时，有最大值，
设点，则，
，
∵，，
当时，有最大值，
的和的最大值为，点的坐标为 ；
（3）解：①当四边形为平行四边形时，，
连接，过点作轴于点，
设与直线交于点，如图，
，
∴二次函数顶点为，
∵，
，，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
又，
四边形为矩形，
，
点关于直线的对称点为，
，
过点作轴于点，
，，
，
，
设，则，
，
，
；
②当四边形为平行四边形时，，
连接，过点作轴于点，
设与直线交于点，如图，
二次函数顶点为，，
，，
，
，
，
又，
四边形为矩形，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
过点作轴于点，
，，
，
，，
∴，
；
综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或.
15．(1)
(2)面积的最大值为；
(3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或．
【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式；
（2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值；
（3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，
∴，
解得，
∴．
（2）解：在中，令，得，
∴，
设，
∵点在直线上方，，，
∴，，
作轴于点，则，，
用割补法求面积：
∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积，
梯形的面积，
的面积，
的面积，
∴面积
，
∵，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
如图，四边形为正方形，则，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
如图，四边形为正方形，点在上方，
连接，，交于点，则，，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
如图，四边形是正方形，点在下方，
连接，，交于点，则，，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为或或．
16．(1)
(2)，
(3)或或，求解过程见解析
【分析】（1）先根据面积为6，得出，进一步得出点坐标为，将抛物线的解析式设为交点式，代入即可解答；
（2）先利用待定系数法，得出直线的解析式为，进一步得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，垂直的定义，平行线的性质和勾股定理，得出，根据当取得最大值时，的周长最大，设，，进一步得出，最后根据二次函数的性质，即可解答；
（3）先由平移可得新抛物线的解析式为，再设，，要使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论，结合平行四边形的性质，得出方程组，再解方程组即可解答．
【详解】（1）解：，
．
，
即，
．
点坐标为，且点在点右侧，
，即点坐标为．
设抛物线的解析式为，，
将代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
直线的解析式为．
，
为等腰直角三角形，
．
，
．
，
，
，
，
，，
．
周长为，
当取得最大值时，的周长最大．
设，，，
，
当时，取得最大值，最大值为4，
此时，的周长为；
当时，，
故此时点的坐标为．
答：周长的最大值为，此时点的坐标．
（3）解：原抛物线的解析式为，
其对称轴为直线；
由平移可得新抛物线的解析式为，
故设，，
要使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论：
当为对角线时，
平行四边形的对角线互相平分，
和的中点重合，
可得方程组，
解得，
；
当为对角线时，
平行四边形的对角线互相平分，
和的中点重合，
可得方程组，
解得，
；
当为对角线时，
平行四边形的对角线互相平分，
和的中点重合，
可得方程组，
解得，
，
综上，或或．
17．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为，
令，
解得或，
∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，
当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小，
此时，，解得（舍去）；
当时，即，此时，随的增大而减小，
此时，，即，
解得或（舍去）；
综上，当时，y的取值范围是，t的值为；
（3）解：存在；
将代入，则，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得，
解得
∴，
设，则，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则，即，
解得（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则，即，
解得或（舍去），
此时菱形的边长为；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或．
18．(1)
(2)的面积为
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值；
（2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积；
（3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：将代入，
得到，
解得，
故抛物线解析式为，
将代入解析式，得，
解得；
；
（2）解：抛物线解析式为，
，
对称轴为直线，
连接，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，
当时，，
，
；
（3）解：①当点在轴下方时，如图，
∴
抛物线的对称轴为直线，，
∴点纵坐标为，
将代入，
解得或（舍去），
;
②当点在轴上方时，
过点作轴于点，
在和中，
，
，即点的纵坐标为，
，
解得或
或，
综上所述，符合条件的坐标为或或．
19．(1)，，
(2)的取值范围为或或
(3)见解析
【分析】（1）令，求出，可得出点坐标，令，求出，，可得出点、坐标；
（2）先求出直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得出，分方程有两个相等实数根、及三种情况，根据一元二次方程根的判别式，结合图像求解即可；
（3）根据中心对称的性质得出，得出直线的解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式求出，，联立直线与抛物线解析式得出，根据平行四边形的性质得出对角线的中点坐标为，即可得出点在轴上，可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，
∴当时，，当时，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：∵时，，
∴与重合，不符合题意，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，，
∴，
整理得，，
如图所示：
①当方程有两个相等的实数根时，直线与抛物线有一个交点，
∴，
解得：；
②方程有两个解，但只有一个解在的的范围内，
当时，
∵线段与抛物线只有一个公共点，
∴，且，
解得：；
当时，
∵线段与抛物线只有一个公共点，
∴，且，
解得：；
综上所述：的取值范围为或或．
（3）解：∵点与点关于点中心对称，，
∴，
设直线的解析式为，
∴当时，，
∴直线的解析式为，
联立直线和抛物线解析式得，，
∴，
整理得，，
设，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，，
∴，
整理得，，
∵直线交抛物线于另一点，是此方程的解，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴对角线与互相平分，
∴对角线中点的横坐标为，
∴对角线的中点在轴上，
∴点也在轴上，
∴轴上总存在点，使四边形是平行四边形．
20．(1)为直角三角形；见解析
(2)最大值为1，
(3)存在，为或
【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形；
（2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；
（3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标．
【详解】（1）解：令，则，
∴
令，则，解得：，
，
在中，，
同理，，
又
，
即为直角三角形；
（2）解：设直线的解析式为，
代入点得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，则
，
轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为最大值为1，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为1；
（3）解：存在，或
存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成正方形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又
，
，
由坐标与平移关系可得，，
②当，为对角线，构成正方形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，，
综上所述，为或．
21．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解；
（3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
作轴交于M，如图1，
设，则，
∴，
∴，
当时，的面积最大，此时P点坐标为；
（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线，
当四边形为平行四边形，设，则，
把代入得，解得，
∴；
当四边形为平行四边形时，设，则，
把代入得，解得，
∴；
当四边形为平行四边形时，设，则，
把代入得，解得，
∴，
综上所述，满足条件的Q点坐标为或或．
22．(1)
(2)
(3)能，P点坐标为或
(4)点Q的坐标是或或或
【分析】（1）连接，根据矩形的性质，勾股定理，旋转的性质得到，，运用待定系数法求解即可；
（2）得出，设，则，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意运用待定系数法得到直线的解析式为：，根据平行四边形的判定方法分类讨论：当时，四边形是平行四边形；，时是平行四边形，结合图形分析即可求解；
（4）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时，若；当时，若；当时，若；当时，若；结合图形分析求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
由旋转得：，
∴，
∴，且直线是抛物线的对称轴，
∴，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得，，
∴这个二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，由旋转得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：如图2，设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线是平移所得，
∴，
过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，，
∴；
如图3，
由题意得：，
解得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
即当直线向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、、F、P为顶点的四边形是平行四边形，
此时，
综上所述，P点坐标为或；
（4）解：分四种情况：
①如图4，
当时，若，
由题意可知：，
∴，
过Q作轴于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
把代入到得：，
解得：（舍），，
∴，
∴；
②如图5，
当时，若，
∴，
设，则，
∴，
同理得，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
把代入到得：，
解得：（舍），，
∴，，
∴；
③如图6，
当时，若，
∴，
过Q作轴于H，
设，则，
同理得：，
∴，
把代入到得：，
解得：（舍），，
∴，，
∴；
④如图7，
当时，若，
∴，
过Q作轴于H，
设，
同理得：，，
∴，
把代入到得：，
解得：（舍），，
∴，，
∴；
综上所述，点Q的坐标是或或或．
答案第8页，共67页
答案第1页，共67页

展开更多......

收起↑