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北京市八一学校教育集团 2025-2026学年第二学期期中练习
高二数学 2026.04
班级 姓名 学号____________________
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将答题纸交回。
一、选择题：本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的
一项.
1.已知等差数列{an}， a1 = 2 ， a3 = 5，则公差 d 等于（ ）
2 3
A. B. C. 3 D. 3
3 2
2.下列导数运算正．确．的是（ ）
1 1 1 1
A. (3x ) ' = 3x B. ( x) ' = x C. (ln x) ' = D. ( ) ' =2 2 x x 2x
3.在数列{a *n}中，已知 a1 = 2 ， an = an 1 + n(n 2,n N ) ，则 a4 等于（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 11
4.下列函数中，在区间 1,0 上的平均变化率最大的是（ ）
x
1
A. y = x2 B. y = x3 C. y = D. y = 2
x
2
5.某学生在书店发现甲、乙、丙共 3本好书，决定至少买其中的 1本，则购买方法有（ ）
A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种
6.设 f1(x) = sin x ， f2 (x) = f1 '(x) ， f3 (x) = f2 '(x)，……， fn+1(x) = fn '(x)， n N
* ，则 f8 (x) =（ ）
A. sin x B. sin x C. cos x D. cos x
ex 1
7.函数 f (x) = 的大致图象为（ ）
x
A. B.
C. D.
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2
8.“ an 为等比数列”是“{an}为等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.记 S nn 为数列{an}的前 项和.若 an = n(8 n)(n =1,2, ) ，则 （ ）
A. {an}有最小项，{Sn}有最小项 B. {an}有最小项，{Sn} 有最大项
C. {an}有最大项，{S }有最小项 D. {an}n 有最大项，{Sn} 有最大项
10.已知函数 f (x) = 3x 2x 1，则不等式 f (x) 0的解集是（ ）
A. (0,1) B. (0,+ ) C. ( ,0) D. ( ,0) (1,+ )
1
11.已知函数 f (x) = ax
3 x2 + 4，若 f (x) 有且只有一个零点 x a0 ，且 x0 0 ，则实数 的取值范围是（ ）
3
3 3 3 3
A. ( , ) B. ( ,0) C. ( ,+ ) D. (0, )
3 3 3 3
ln x
, x 1 2
12.设函数 f (x) = x ，若关于 x的方程 f (x) + mf (x) 1 m = 0 恰好有 4个不相等的
3
(x 1) , x 1
实数解，则实数m 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A. 1, 1 B. 1 , 1 C. 1, +1 D. 0,
e e e e
二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分.
13. A35 = __________.
14.在等比数列{an}中， a3 = 2 ，则前 5项之积为__________.

15.曲线 f (x) = xsin x 在 x = 处的切线斜率为__________.
2
16.从 4名男生和 2名女生中选出 3名志愿者，其中至少有 1名女生的选法共有__________种.（用数．字．作
答）
17.若函数 f (x) = mx2 + ln x x 在定义域内有递减区间，则实数m 的取值范围是__________.
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18.记 f (x) ， g (x)分别为函数 f (x) ， g(x) 的导函数.若存在 x0 R ，满足 f (x0 ) = g(x0 )且
f (x0 ) = g (x0 ) ，则称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S点”.
(1)以下函数 f (x)与 g(x) 存在“S点”的是__________.（填写序．号．）
①函数 f (x) = x 与 g(x) = x2 1；
②函数 f (x) = x +1与 g(x) = ex ；
③函数 f (x) = sin x 与 g(x) = cos x.
(2)已知m,n R ，若函数 f (x) = mx2 + nx 与 g(x) = ln x 存在“S点”，则实数m 的取值范围为
__________.
三、解答题:本大题共 5小题，共 60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19. (本小题 10分 )
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a = 3， S6 S3 = 45.1
(Ⅰ )求{an}的通项公式；
(Ⅱ )若数列{a nn + bn}是首项为 1，公比为 2的等比数列，求数列{bn}的前 项和Tn .
20. (本小题 12分 )
已知函数 f (x) = x3 x2 ax + 2在 x =1时取得极值.
(Ⅰ )求 a的值；
(Ⅱ )求函数 f (x)的单调区间；
(Ⅲ )求函数 f (x)在区间[ 2,2]上的最小值.
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21. (本小题 11分 )
x 2
已知函数 f (x) = (x 1)e x .
(Ⅰ )判断 f (x) 在 ( ,0)上的单调性，并证明；
(Ⅱ )求 f (x) 在 (0,+ )上的零点个数．
22. (本小题 15分 )
已知函数 f (x) = ln(ax +1) x，其中 a 0.
(Ⅰ )当 a =1时，求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0))处切线的方程；
(Ⅱ )当 a = 2时，证明：对任意的 t (0,+ ) ，曲线 y = f (x) 总在直线 y = x + t 的下方；
(Ⅲ )若函数 f (x)有两个零点 x1, x2 ，且0 x2 x1 1，求 a的取值范围.
23. (本小题 12 分 )
对于无穷数列{an}、{bn}， n N
* ，若bk = max a1,a2 , ,ak min a1,a2 , ,ak ， k N* ，则称数列{bn}
是数列{an}的“收缩数列”，其中max a1,a2 , ,ak 、min a1,a2 , ,ak 分别表示 a1,a2 , ,ak 中的最大项和
最小项．已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，数列{bn}是数列{an}的“收缩数列”．
(Ⅰ )写出数列 an = 3n 1的“收缩数列”；
(Ⅱ )证明：数列{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；
n(n +1) n(n 1)
(Ⅲ )若 S1 + S2 + + Sn = a1 + bn (n =1,2,3, )，求所有满足该条件的数列 an .
2 2
高二数学 第 4 页，共 4 页2027 届高二下数学期中考试参考答案
202604
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的
一项.
1-5 BCDBC 6-10 DBBDA 11-12 AB
二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5 分,共 30分.
13【答案】 60 14【答案】32 15【答案】 1 16【答案】 16
1 1
17【答案】 ( , ) 18【答案】 ②;[ ,+ )
8 2e3
（18题第一空 2分第二空 3分）
三、解答题:本大题共 5小题，共 60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19.（满分 10 分） (Ⅰ )法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
n(n 1)
Sn = na1 + d ， ——1 分
2
6 5 3 2
因为 S6 S3 = 45，所以 6a1 + d (3a1 + d) = 45 ，
2 2
6 5 3 2
又 a 6 3+ d (3 3+ d) = 451 = 3，所以 ，解得 d = 3， ——3分
2 2
因为 an = a1 + (n 1) d = 3+ (n 1) 3 = 3n
所以{an}的通项公式 an = 3n ——5分
法 2:设等差数列{an}的公差为 d， S6 S3 = a4 + a5 + a6 = 3a5 = 45
a
故 a =15， d = 5
a1
5 = 3，所以 an = 3+ (n 1) 3 = 3n ；
5 1
(Ⅱ )因为数列{an + bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 a + b
n 1
n n = 2 .
因为 an = 3n，所以b = 2
n 1
n 3n. ——7 分
1 2n n(3+ 3n)
则Tn = (1+ 2 + 4 + + 2
n 1) (3+ 6 + 9 + + 3n) = ——9 分
1 2 2
= 2n
3n(n +1)
1 .
2
3n(n +1)
所以数列{bn}
n
的前 n 项和为 2 1 . ——10 分
2
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20.（满分 12 分） (Ⅰ )解： (1)由题意函数 f (x) = x3 x2 ax + 2在 x =1时取得极值，
对函数求导可得 f (x) = 3x2 2x a， ——1分
且 f (1) = 0 ， ——2分
即3 2 a = 0 ，解得 a =1， ——3分
故 f (x) = 3x2 2x 1= (3x +1)(x 1) ，
1 1
令 f (x) 0 得 x 1，令 f (x) 0 得 x 1或 x ，
3 3
故 x =1为极小值点，满足要求； ——4分
(2) f (x) = x3 x2 x + 2，
1 1
x 1时， f (x) 0 ， x 1或 x 时， f (x) 0 ， ——6分
3 3
1 1
所以 f (x) 的单调递减区间为 ( ,1)，单调递增区间为 (1,+ ),( , ) ；——8分
3 3
(3) 由 (1)知 x =1为极小值点， f (1) =1 1 1+ 2 =1， ——9分
又 f ( 2) = 8 4 + 2 + 2 = 8， f (2) = 8 4 2 + 2 = 4， ——10分
显然 8 1 4，故 f (x)在区间[ 2,2]上的最小值为 f ( 2) = 8. ——12 分
21.（满分 11 分）解： (Ⅰ ) f ( x)在 ( ,0)上单调递增，证明如下：
f (x) = (x 1)ex 2因为 x ，
所以 f (x) = ex + (x 1)ex 2x = xex 2x = x (ex 2)， ——2分
又因为 x ( ,0)，从而 ex 2 1 2 0 ，
x
所以 f (x) = x (e 2) 0， ——4分
所以 f (x) 在 ( ,0)上单调递增． ——5分
(2) x由 (1)知： f (x) = x (e 2)，
因为 x (0,+ ) ，令 f (x) = 0 ，得 x = ln 2. ——6 分
f (x) 与 f (x) 在区间 (0,+ )上的情况如下：
x (0, ln 2) ln 2 (ln 2,+ )
f (x) - 0 +
f (x) 极小
——8分
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因为 f (0) = (0 1)e0 02 = 1 0， f (ln 2) f (0) 0
f (2) = (2 1)e2 22 = e2 22 0 ， ——10分
由零点存在定理及 f (x) 单调性可知， f (x) 在 (0,+ )上恰有一个零点． ——11分
22. （满分 15分） (Ⅰ )已知当 a =1时， f (x) = ln(x +1) x ，
1 x
对 f (x)求导得 f (x) = 1= . ——1 分
x +1 x +1
将 x = 0代入 f (x)得 f (0) = ln(0+1) 0 = 0. ——2 分
0
将 x = 0代入 f (x) 得 f (0) = = 0. ——3 分
0 +1
所以切线方程为 y 0 = 0(x 0)，即 y = 0. ——4 分
1
(Ⅱ )当 a = 2时， f (x) = ln(2x +1) x ，其定义域为 ( ,+ ).
2
1
因为曲线 y = f (x) 总在直线 y = x + t 的下方等价于 x ( ,+ ), ln(2x +1) x x + t ，即
2
1
x ( ,+ ), ln(2x +1) 2x t 0.
2
1
设函数 g(x) = ln(2x +1) 2x t, x ， ——5分
2
2 4x
对 g(x) 求导得 g (x) = 2 = . ——6 分
2x +1 2x +1
4x
令 g (x) = 0，即 = 0，解得 x = 0.
2x +1
1 1
当 x ( ,0)时， g (x) 0，所以 g(x) 在 ( ,0) 上单调递增；
2 2
当 x (0,+ ) 时， g (x) 0 ，所以 g(x) 在 (0,+ )上单调递减. ——8 分
所以 g(x) 在 x = 0处取得极大值，也是最大值， g(x)max = g(0) = ln(2 0 +1) 2 0 t = t.
由于 t (0,+ ) ，则 g(x)max = t 0 ， ——9分
即所以曲线 y = f (x) 总在直线 y = x + t 的下方.
a a 1 ax 1
(Ⅲ ) f (x) = 1= , x ，
ax +1 ax +1 a
1 1 1
在 ( ,1 )上， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；在 (1 ,+ ) 上， f (x) 0 ， f (x) 单调递减.
a a a
1
知 f (x)max = f (1 ) ——10 分
a
考虑到 f (0) = 0， ——11 分
1
①当1 = 0，即 a =1时.
a
高二数学 答案 第 3 页，共 5 页
f (x)max = f (0) = ln(1) 0 = 0.
对于 x ( 1,+ ), x 0，有 f (x) 0，所以 f (x) 恰有一个零点，不符合题意.
——12分
1 1
②当1 0 ，即0 a 1时. f (x)max = f (1 ) f (0) = 0 ，
a a
1
因为 f (x) 有两个零点 x1, x2 ，且满足 0 x2 x1 1，得 x2 = 0 ， x1 ( 1,1 ).
a
1 1 1
又因为此时 1 ( ,+ ) ，所以 f ( 1) = ln(1 a) +1 0，即1 a ，解得 a 1 ，
a e e
1
又因为0 a 1，所以1 a 1. ——13 分
e
1 1
③当1 0 ，即 a 1时. f (x)max = f (1 ) f (0) = 0.
a a
1
因为 f (x) 有两个零点 x1, x2 ，且满足 0 x2 x1 1，得 x1 = 0 ， x2 (1 ,1).
a
所以 f (1) = ln(1+ a) 1 0，即1+ a e ，解得 a e 1，
又因为 a 1，所以1 a e 1. ——14分
1
综上，a的取值范围为 (1 ,1) (1,e 1). ——15 分
e
23.（满分 12 分）解： (Ⅰ )由 an = 3n 1可得{an}为递增数列， ——1分
所以bn = max a1,a2 , ,an min a1,a2 , ,an = an a1 = 3n 1 2 = 3n 3，
所以bn = 3n 3,n N
*. ——3 分
(Ⅱ )因为max a1,a2 , ,an max a1,a2 , ,an+1 (n =1,2,3, )，
min a1,a2 , ,an min a1,a2 , ,an+1 (n =1,2,3, )，
所以max a1,a2 , ,an+1 min a1,a2 , ,an+1 max a1,a2 , ,an min a1,a2 , ,an ，
所以bn+1 bn (n =1,2,3, ). ——5 分
又因为b1 = a1 a1 = 0， ——6分
所以max b1,b2 , ,bn min b1,b2 , ,bn = bn b1 = bn ，
所以{bn}的“收缩数列”仍是 bn . ——7 分
n(n +1) n(n 1)
(Ⅲ )由 S1 + S2 + + Sn = a1 + bn (n =1,2,3, )可得
2 2
当 n =1时， a1 = a1；
高二数学 答案 第 4 页，共 5 页
当 n = 2时， 2a1 + a2 = 3a1 + b2 ，即b2 = a2 a1，所以 a2 a1；
当 n = 3时，3a + 2a + a = 6a + 3b ，即3b3 = 2(a2 a1 ) + (a3 a1 )(*)1 2 3 1 3 ，
若 a1 a3 a2 ，则b3 = a2 a1，所以由 (*) 可得 a3 = a2 ，与 a3 a2 矛盾；
若 a a a (*) a a = 3 a a3 1 2 ，则b3 = a2 a3，所以由 可得 3 2 ( 1 3 )，
所以 a3 a2 与 a1 a3同号，这与 a3 a1 a2 矛盾；
若 a3 a2 ，则b3 = a a (*)3 1，由 可得 a3 = a2 .
n(n +1) n(n 1)
猜想：满足 S + S + + S = a + b (n =1,2,3, )的数列{an}是：1 2 n 1 n
2 2
a1,n =1
an = ,a2 a1 .n N
*. ——8 分
a2 ,n 1
n(n 1)
经验证，左式 = S1 + S2 + + Sn = na1 + 1+ 2 + + (n 1) a2 = na1 + a ，2 2
n(n +1) n(n 1) n(n +1) n(n 1) n(n 1)
右式 = a1 + bn = a1 + (a2 a1 ) = na1 + a . 2
2 2 2 2 2
——10 分
下面证明其它数列都不满足题设条件.
a1,n =1
由上述 n 3时的情况可知， n 3时， an = ,a2 a1 是成立的.
a2 ,n 1
a1,n =1
假设 ak 是首次不符合 an = ,a2 a1 的项，则 a1 a2 = a3 = = ak 1 ak ，
a2 ,n 2
k 2 k 2 k (k 1) k (k 1)
由题设条件可得 a2 + ak = a1 + b (*)，k
2 2 2
若 a1 ak a2 ，则由 (*) 式化简可得 ak = a2 与 ak a2 矛盾；
k (k 1)
若 ak a1 a2 ，则b = a a ，所以由 (*)k 2 k 可得 ak a2 = (a1 ak )
2
所以 ak a2 与 a1 ak 同号，这与 ak a1 a2 矛盾；
所以 a (*)k a2 ，则bk = ak a1，所以由 化简可得 ak = a2 .
这与假设 ak a2 矛盾.
a1,n =1,
所以，所有满足该条件的数列{an}的通项公式为 a = a a ， n N
*
n 2 1 . ——12 分
a2 ,n 2,
高二数学 答案 第 5 页，共 5 页

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