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中学部 2025-2026学年第二学期八年级阶段检测
数学试卷
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
说明：请考生在答题卷指定区域按要求规范作答，考试结束上交答题卷。
第Ⅰ卷
一、选择题：（每题 3分，8小题，共 24分）
1．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则
在数形之间。下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将多项式 2ab 4ab2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． 4ab2 B． 2ab C． 2ab2 D． 2b2
3．已知 a b，则下列各式中正确的是（ ）
A． a b B． a 3 b 3 C． a2 b2 D． 3a 3b
4．反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（ ）
A．等腰三角形的顶角为锐角 B．等腰三角形的底角为钝角
C．等腰三角形的底角不为锐角 D．等腰三角形的顶角不为锐角
5．某商场推出了一项打折销售活动。已知某商品的进价为 150元，标价为 250元。现准备
打 x折销售这种商品，且利润率不得低于 12%，则根据题意可列不等式为（ ）
A． 250x 150 150 12% B． 250 x 150 150 12%
10
C x． 250 150 150 12% D． 250x 150 250 12%
10
6．如图，在△ABC中， ABC 90 ， AB BC。用直尺和圆规在边 AC上确定一点 D，使
点 D到 AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
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7．若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”。例如13 72 62，
所以 13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（ ）
A．代数式 a2 2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是 a 2b
B．将智慧数从小到大进行排列，第 10个智慧数是 16
C．所有大于 1的奇数都是智慧数
D．12是智慧数
8．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为 6的等腰 Rt△AOB；②
小球撞击桌边后反弹角等于入射角。如图建立平面直角坐标系，球从点 P(3,0)出发，撞
击 AB边上的 M点后反弹，再撞击 OB边上的点 N反弹，最后回到点 P。则 M点的坐标
为（ ）
A 15 9(3,3) B , C 7 5 5 7 ． ． ． , D． ,
4 4 2 2 2 2
第Ⅱ卷
二、填空题：（每题 3分，5小题，共 15分）
9．如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层
凸起的八边形造型，则八边形的内角和为________。
10．如图， AC 5， BC 4，将△ABC沿 BA方向平移得到△DEF，若 AE 2，DB 14，
则平移的距离为________。
第 9题图 第 10题图 第 11题图
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11．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：
mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间 x（天）的变化。溶解氧浓度由直线 l1 : y x 1
描述，污染物浓度由直线 l2 : y kx b (k 0)描述。如图，当溶解氧浓度不低于污染物
浓度时，水质有较强的修复能力，此时 x范围是________。
12．新定义：对于任意实数 x，都有 f (x) ax2 bx，若 f (1) 5， f (2) 12，则将 f (x 1)
因式分解的结果为________。
13．在 RT△ABC内部有一动点 P， BAC 90 ， ACB 30 ，连接 PA，PB，PC，若 AB 4，
求 PA PB PC 的最小值________。
三、解答题：（本题共 7小题，共 61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（6分）因式分解（1） 4(a b)3 8(b a)2 ；（2） x2 (a 1)x a。
15．（8 5x 1 3x 1分）（1）解不等式： 1，并将不等式的解集在数轴上表示：
3 2
3x x 4
（2）解不等式组： ，并写出所有正整数解。
2(x 5) 6
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16．（9分）平面直角坐标系中△ABC的三个顶点的坐标分别是 A( 4,5)，B( 5,2)，C( 1,3)。
（1）已知△A B C 与△ABC关于点 D成中心对称。
①若点 D与原点 O重合，请在图中画出△A B C 。
②若把①中的点 D沿 x轴向右平移 1个单位长度，则①中的△A B C 向右平移
________个单位长度；若把①中的点 D沿 y轴向上平移 1个单位长度，则①中
的△A B C 向上平移________个单位长度。
（2）直接写出 A点关于点 (m,n) (m 0,n 0) 的对称点的坐标________。
17．（8分）如图，已知 AC AE， CAD EAB，AD⊥DE，AB⊥BC，BC与 DE相交于
点 F，连接 AF。求证：
（1） DF BF；
（2）AF是 CE的中垂线。
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18．（10分）综合实践
深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两
背景一 种型号的“燕宝啾啾”玩偶共 80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数
7
量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的 。
9
经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个 58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价
背景二 每个 37元。因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖 88元，小号
“燕宝啾啾”玩偶每个卖 45元。
任务一 该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？
任务二 该文创店所获得的最大利润是多少？
实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降m (10 m 25)元/个，且限制
小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过 40个。在任务一的基础上，
任务三
若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出
后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？
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19．（10分）【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为： (a b)2 a2 2ab b2 ，如果我们将 (a b)2 写成
[a ( b)]2 ，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式。过程如下：
(a b)2 [a ( b)]2 a2 2a ( b) ( b)2 a2 2ab b2。
（1）【类比推理】
已知两数的立方和公式为 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )，请类比两数差的完全平方公式的推
理过程，推导两数的立方差公式： a3 b3 a3 ( b)3 ________。
（2）【应用公式】
因式分解： x3 3x2 y 3xy2 y3。
（3）【拓展提升】
如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形 ABCD，设 S四边形ABCD S1 ，
S四边形EFGH S2， S四边形MNPQ S3。若 S1 S2 S3 30，则① S2 ________。
②若该直角三角形两条边长分别为 m和 n，且 S3 2，先将代数式m
6 2m4n2 2m2n4 n6 进
行因式分解，然后求出代数式的值。
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20．（10分）如图，在△ABC中， ACB 45 ，AD，BE分别为△ABC的高。
（1）如图 1，若 BD 3， AC 5 6，连接 DE， BE ________，DE ________；
（2）如图 2，连接 DE，将 DE绕点 E逆时针旋转 90°到 EF，连接 DF，G为线段 DF上一
点，连接 CG。若 ECG ADE，求证： AB 2CG；
（3）如图 3，若CB CA 2 2，P是线段 AD上一动点，将线段 CP绕着点 C逆时针旋转
60°至线段 CQ，连接 PB，PE，DQ。当 DQ取得最小值时，请直．接．写．出．△BEP的面积。
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