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专项复习提优一 三角形的证明及其应用
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.已知a，b，c是△ABC 的三边，下列选项中不能判定三角形是直角三角形的是( ).
A. a=5,b=12,c=13 B. ∠B-∠C=∠A
C. ∠A=37°,∠C=53° D.
2.(2025·浙江嵊州期中)以下命题是真命题为( ).
A.同旁内角相等，两直线平行 B. 若|a|=|b|,则a=b
C.对顶角相等 D.面积相等的两个三角形形状一样
3.用反证法证明命题“在△ABC中,若AB≠AC,则∠B≠∠C”时,首先应该假设( ).
A. AB=AC B. ∠B=∠C
C. AB=AC 且∠B=∠C D. AB=AC且∠B≠∠C
4.(2025·眉山中考)如图,直线l与正五边形ABCDE 的边AB,DE 分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为( ).
A. 216° B. 180° C. 144° D. 120°
5.如图,AB∥CD,BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,AD 过点P,且与AB垂直.若AD=10,则点 P到BC 的距离是( ).
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
6.(2025·遂宁中考)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( ).
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
7.(2025·山东枣庄薛城区期末)综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地ABC 的道路AB 上建一个休息点M，使它到AC 和BC 两边的距离相等，在图中确定休息点M 的位置.下列方案能满足项目要求的是( ).
8. 如图,在△ABC中,AB=21cm,AC=12cm,∠A=60°,点 P 从点B 出发以每秒3cm的速度向点 A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 ts，当△APQ为直角三角形时，t的值为( ).
A. 2.5 B. 3 C. 2.5或3 D. 3或
9.如图(1)，分别以等腰直角三角形 ACD 的边AD，AC，CD 为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE 和DHCF 的面积之和是a,斜边AD=4;如图(2),分别以Rt△ABC 的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 图(2)中阴影部分的面积为b，则a，b的值分别为( ).
A. 4,4π B. 4， C. 2π，5 D.，
10.(2025·陕西西安长安区期末)如图，四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD 和正方形EFGH，连接AC,分别交EF,GH 于点P,Q.已知 正方形ABCD 的面积为30，则图中阴影部分面积之和为( ).
A. 6 B. 12 C. D.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.如图，学校有一块四边形试验田，分割成A，B两块，由图可知x= .
12.(2025·吉林中考)如图,正五边形 ABCDE 的边AB,DC 的延长线交于点 F,则∠F 的大小为 度.
13.(2025·长春南关区四模)如图,等边三角形 ABF 在正五边形ABCDE 的内部,连接EF,则∠AEF 的大小是 度.
14.(2025·湖南益阳安化期末)如图，实线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC=4cm，BC=3cm.现将4个直角三角形中边长为4cm的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 cm.
15.如图,在△ABC中,AB=AC=4,P 是BC上任意一点,过点 P 作 PD⊥AC 于点 D,PE⊥AB 于点E,若S△ABC=12,则 PE+PD= .
16.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点中确定一点 C，连接AC 和BC，使 是等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是 .
17.(2025·武汉中考)如图，在 中， 点D 在边AC上,CD=3.若点 E 在边AB 上,满足CE=BD,则AE 的长是 .
18.如图，已知等腰三角形ABC， 于点D，P 是BA 延长线上一点，O是线段AD 上一点，OP=OC,下面的结论： 是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的序号是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图是一个多边形 BCDEF,A 为多边形内一点,连接AF,AB, 求 的大小.
20.(6分)(2025·甘肃兰州期末)如图,在 中，BD 是高，D 是AC边的中点，点E 在BC 边的延长线上,ED 的延长线交AB 于点F,且若
(1)求证: 是等边三角形；
(2)请判断线段AD 与CE 的大小关系，并说明理由.
21、(8分)(2025·山东德州德城区期末)清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题，通过勘测，得到如下记录表：
模型抽象
测绘数据 ①测得放风筝的手 B 到地面的距离BE 为1.7米； ②测出放风筝的手 B 到铅垂线AD 的水平距离BC 为 15米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线AB 的长为17 米.
相关说明 点A，B，C，D，E在同一平面内，直线 DE表示水平地面.
请你根据记录表信息，完成下面的任务：
(1)求风筝离地面的垂直高度AD.
(2)如果想要风筝沿DA 方向再上升 12米，BC 的长度不变，那么需再放出多少米的风筝拉线
22.(8分)(2025·四川达州万源期末)如图,在 中,直线l垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E.连接BD.
(1)若AB=9,△ABD的周长为19,则AC的长为 ;
(2)若 求 的度数；
(3)已知点 P 在线段DE 上，且点 P 在边AC 的垂直平分线上，连接PC，试判断点 P 是否在边AB 的垂直平分线上，并说明理由.
23.(8分)在直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠,使点 A 落在直角边BC上，记落点为 D，设折痕与AB，AC边分别交于点E，F.
(1)若∠AFE=55°,求∠CDF 的度数;
(2)若折叠后的△CDF 为等腰三角形，连接AD，求∠ADC 的度数;
(3)在(2)的条件下，若△BDE 也为等腰三角形，求纸片中∠B 的度数.
24.(8分)(2025·福建泉州惠安期末)已知直线m⊥n于点O,点A 在直线m上,点 B 在直线n上.
(1)如图(1),射线AC,BC分别是∠BAO 和∠ABO的平分线.问:点A,B 运动过程中,∠ACB 的大小是否会发生变化 若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求∠ACB 的大小.
(2)如图(2),延长 AB 至点E,AF 是∠BAO 内的一条射线,与直线 n 相交于点 D,若∠EBD,∠FDB,∠BAD 的平分线恰好交于点G,过点G作GH⊥AE 于点H,设∠BGH=α,∠AGD=β,试探究α和β满足的数量关系，并证明.
(3)如图(3),延长AB 至点E,已知∠ABO,∠OBE 的平分线与∠BOQ 的平分线所在直线分别相交于M，N.在△BMN 的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO 的度数.
25.(10分)如图,O 是等边三角形ABC 内一点,D 是 外的一点， 连接OD.
(1)求证: 是等边三角形.
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由.
(3)探究：当α为多少度时， 是等腰三角形
26.(12 分)在等边三角形 ABC 中,点 E 在AB 上,点 D 在CB 的延长线上,且ED=EC.
(1)[特殊情况，探索结论]如图(1)，当E为AB 的中点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)[特例启发，解答题目]如图(2)，当E为AB 边上任意一点时，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论,AE DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点 E 作 交 AC 于点F.请你完成以下解答过程.
(3)[拓展结论，设计新题]在等边三角形ABC 中，点 E 在直线AB 上，点 D 在线段CB 的延长线上，且ED=EC,若 的边长为1，AE=2,求CD 的长(请你画出相应图形，并直接写出结果).
1. D [解析]∵a=5,b=12,c=13,∴a +b =c ,
∴△ABC是直角三角形，故 A不符合题意；
∵∠B-∠C=∠A,∴∠A+∠C=∠B.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠B=180°,∴∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形，故 B不符合题意；
∵∠A=37°,∠C=53°,∴∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形，故 C不符合题意；
∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意.故选 D.
2. C[解析]A.同旁内角互补，两直线平行，故本选项命题是假命题,不符合题意;B.若|a|=|b|,则a=±b,故本选项命题是假命题，不符合题意；C.对顶角相等，故本选项是真命题，符合题意；D.面积相等的两个三角形形状不一定一样，故本选项命题是假命题，不符合题意.故选C.
3. B[解析]反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，所以用反证法证明命题“在△ABC 中，若AB≠AC,则∠B≠∠C”时,首先应假设∠B=∠C.故选 B.
4. C
5. D [解析]如图,过点 P 作PE⊥BC于点E.
∵AB∥CD,AD⊥AB,∴AD⊥CD.
∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,AD⊥AB,AD⊥CD,PE⊥BC,∴PA=PE=PD.
∵AD=10,∴PE=5,即点 P 到BC的距离是5.故选 D.
6. A
7. C [解析]∵点M到AC和BC两边的距离相等,且点M在AB上,∴M 是∠ACB 的平分线与AB的交点,
∴C选项中的方案能满足项目要求.故选 C.
8. D [解析]根据题意,得AP=AB-BP=(21-3t)cm,AQ=2t cm.
∵△APQ为直角三角形,∠A=60°,
∴当∠AQP=90°时,∠APQ=30°,则
解得t=3;
当∠APQ=90°时,∠AQP=30°,则
解得 综上所述，当t 的值为3或 时，△APQ为直角三角形.故选D.
9. B
10. A
11.87°[解析]如图,根据题意，得
12.36 [解析]∵五边形ABCDE是正五边形,
∵∠ABC+∠FBC=180°,∠BCD+∠BCF=180°,
∴∠FBC=180°-∠ABC=180°-108°=72°,∠BCF=180°-∠BCD=180°-108°=72°.
在△BCF 中,∠F+∠FBC+∠BCF=180°,
∴∠F = 180°-∠FBC-∠BCF = 180°-72°-72°=108°-72°=36°.
13.66 [解析]在正五边形ABCDE中,AE=AB.
∵△ABF是等边三角形,∴∠BAF=60°,AF=AB,
∴AE=AF,∴∠AEF=∠AFE.
∴∠EAF=∠BAE-∠BAF=108°-60°=48°.
在△AEF中,∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°,
14.(4+16)
15.6 [解析]如图,连接AP.
∵AB =AC=4,PD⊥AC,PE⊥AB,
2PE,S△APC= AC·PD= ×4×PD=2PD.
又 ∴2PE+2PD=12,∴PE+PD=6.
16.6 [解析]如图所示.
分两种情况：
当点 C 在点C ,C ,C ,C 位置上时,AC=BC;
当点 C 在点 C ,C 位置上时,AB=BC.
综上所述，满足条件的点 C 的个数是6.
17.7或9 [解析]如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点C作CH⊥AB于点H
∵AB=AC=10,
∵△ABC的面积
点E位置不固定，需分情况讨论
①当点E在点H 的上面时，
当BE=CD=3时,CE=BD,
∴AE=AB-BE=10-3=7;
②当点E'在点 H 的下面时，
∵CE'=CE,CH⊥EE',∴HE'=HE.
∵EH=BE-BH=3-2=1,∴EE'=EH+E'H=2,
∴AE'=AE+EE'=7+2=9.
综上所述，AE 的长是7或9.
18.①③④ [解析]①如图,连接OB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=×120°=60°,
∴OB=OC,∠ABC=90°-∠BAD=30°.
∵OP=OC,∴OB=OC=OP,
∴∠APO =∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°.故①正确;
②由①知∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO.
∵O是线段AD 上一点,∴∠ABO 与∠DBO 不一定相等,则∠APO 与∠DCO 不一定相等.故②不正确;
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,
∴∠APC+∠DCP=150°.
∵∠APO+∠DCO=30°,∴∠OPC+∠OCP=120°,
∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°.
∵OP=OC,∴△OPC是等边三角形,故③正确;
④如图,在AC上截取AE=PA,连接PE.
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,
∴△APE 是等边三角形,
∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,
∴∠APO+∠OPE=60°.
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,
∴∠APO=∠EPC.
在△OPA 和△CPE中,
∴△OPA≌△CPE(SAS),∴AO=CE,
∴AB=AC=CE+AE=AO+AP,故④正确.故正确的结论有①③④.
19.∵∠A=90°,∴∠AFB+∠ABF=90°.
∵五边形 BCDEF 的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠1+∠2+∠AFB+∠ABF+∠C+∠D+∠E=540°,∴∠1+∠2+90°+106°+116°+100°=540°,∴∠1+∠2=128°.
20.(1)∵BD⊥AC,D是AC边的中点,
∴BD 垂直平分AC,∴AB=CB.
∵EF⊥AB,∴∠ABC+∠E=90°.
∵∠E=30°,∴∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形、
(2)AD=CE.理由如下:
∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°,
∴∠CDE=30°=∠E,∴CD=CE.
∵D是AC边的中点,∴AD=CD,∴AD=CE.
21.(1)根据题意,得CD=BE=1.7米,BC=15米,∠ACB=90°,AB=17米,
∴在 Rt△ABC 中, 8(米),
∴AD=AC+CD=8+1.7=9.7(米).
(2)∵风筝沿 DA 方向再上升 12 米后,AC=8+12=20(米)，∴此时放出的风筝拉线的总长为 (米),
∴需再放出的风筝拉线的长度为25-17=8(米).
故需再放出 8米的风筝拉线.
22.(1)10 [解析]∵直线 l垂直平分边BC,∴BD=CD.
∵△ABD 的周长为19,∴AB+BD+AD=19.
∵AB=9,∴BD+AD=10,
∴CD+AD=10,∴AC=10.
(2)∵∠ADB=90°,∴∠BDC=90°,
∵直线l垂直平分边BC,∴BD=CD,
∴∠ACB=∠DBC=45°(等边对等角),即∠ACB 的度数为45°.
(3)点 P 在边AB 的垂直平分线上，理由如下：
如图,连接PA,PB,
∵直线 l垂直平分边BC,点 P 在直线l上,∴PB=PC.
∵点 P 在边AC 的垂直平分线上，
∴PA=PC,∴PA=PB(等量代换),
∴点 P 在边AB 的垂直平分线上.
23.(1)由折叠的性质,得∠DFE=∠AFE=55°,
∴∠CFD=180°-55°-55°=70°.
∵∠ACB=90°,∴∠CDF=90°-70°=20°.
(2)如图,连接AD.
∵△CDF 为等腰三角形,∠FCD=90°,
∴∠CFD=∠CDF=45°.
由折叠的性质,得AF=DF,∴∠FAD=∠FDA.
∵∠CFD=∠FAD+∠FDA=45°,
∴∠FAD=∠FDA=22.5°,∴∠ADC=67.5°.
(3)∵∠ADC=∠B+∠DAB,∴∠DAB=67.5°-∠B.
由折叠的性质,得 AE=DE,∴∠ADE=∠DAB =67.5°-∠B,∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B.
若DE=BD,则∠DEB=∠B,
∴135°-2∠B=∠B,∴∠B=45°;
若BE=BD,则∠DEB=∠EDB,
∴∠EDB=∠DEB=135°-2∠B.
∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°,
∴135°-2∠B+135°-2∠B+∠B=180°,∴∠B=30°;若DE=BE,则∠EDB=∠B,
∵∠DEB+∠EDB+∠B=180°,
∴135°-2∠B+∠B+∠B=135°≠180°(不符合题意,舍去).综上所述，∠B 的度数为30°或45°.
24.(1)不会发生变化.
∵m⊥n,∴∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB=90°.
∵射线AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠ACB =180°-(∠CAB + ∠CBA)= 180°-45°=135°,
∴∠ACB 的大小不会发生变化，为135°.
(2)α=β.证明如下:
∵∠EBD,∠FDB,∠BAD 的平分线恰好交于点G,∴可设∠EBG=∠GBD=x,∠FDG=∠GDB=y,∠GAD=∠BAG=x.
∵∠EBD =∠BAD+∠ADB, ∠BDF=∠BAD+∠ABD,
∴∠EBD +∠BDF =∠BAD +∠ADB +∠BAD +∠ABD=180°+∠BAD,即2x+2y=180°+2z,∴x+y=90°+x.
∵GH⊥AE,∴α=∠BGH=90°-∠EBG=90°-x.
∵∠AGD =∠GDF - ∠GAD = y - z,∠AGB =∠GBE-∠GAB=x-z,∠BGD =180°-∠GBD-∠GDB=180°-(x+y),
∴β=∠AGD=∠BGD-∠AGB=180°-(x+y)-(x-z)=180°-(90°+x)-(x-z)=90°-x,∴α=β.
(3)∵BM平分∠ABO,BN平分∠OBE,
∵ON平分∠BOQ,∠BOQ=90°,∴∠BON=45°.
分情况讨论：
①若∠BMN=3∠BNM,
∵∠BMN+∠BNM=90°,
∴∠BNM=22.5°,∠BMN=67.5°.
而∠BON=∠BMO+∠OBM=45°<67.5°,不符合题意，舍去；
②若∠BNM=3∠BMN,
∵∠BMN+∠BNM=90°,
∴∠BMN=22.5°,∠BNM=67.5°.
面∠BON=∠BMO+∠OBM=45°,∴∠OBM=45°-22.5°=22.5°.
∴∠ABO=2∠OBM=45°,
∴∠BAO=90°-∠ABO=45°;
③若∠MBN=3∠BNM,则∠BNM=30°,
∴∠BMN=90°-∠BNM=60°.而∠BON=∠BMO+∠OBM=45°<60°,不符合题意,舍去;
④若∠MBN=3∠BMN,则∠BMN=30°.
∵∠BON=∠BMO+∠OBM=45°,
∴∠OBM=45°-30°=15°,∴∠ABO=2∠OBM=30°,
∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-30°=60°.
综上所述,∠BAO 的度数为 45°或 60°.
25.(1)∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.
∵∠OCD=60°,∴△OCD 是等边三角形.
(2)△AOD 是直角三角形.理由如下:
∵△OCD 是等边三角形,∴∠ODC=60°.
∵△BOC≌△ADC,α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD 是直角三角形.
(3)∵△OCD 是等边三角形,∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,∴α=125°;
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,∴α=140°;
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,∴α=110°.
综上所述,当α=110°或125°或140°时,△AOD 是等腰三角形.
26.(1)=
(2)=理由如下:
如题图(2),过点 E 作EF∥BC,交AC 于点 F.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF为等边三角形,
∴AE=AF=EF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中,
∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB.
(3)当点 E在AB 延长线上时,如图,过点 E 作EF∥AC,交 CD 于点 F.易得△EFB 为等边三角形,∴FB=FE=BE,易证△DBE≌△CFE,
∴DB=FC.
∵AB=1,AE=2,∴BE=1.
∵DB=FC=FB+BC=2,
∴CD=BC+DB=3.

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