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定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试
高一数学
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知平面向量，满足：，，与的夹角为120°，则（）
A. B. C.1 D.
2.已知中，，则此三角形为（ ）
A.等边三角形 B.等腰非等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
4.已知向量，若，则（）
A. B. C. D.
5.已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（）
A. B. C. D.
6.奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B等于(　　)
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.若，则
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A.若，则 B.若，则
C.面积的最大值为 D.周长的最大值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
11.已知向量，，，的夹角为，则 .
12.已知平面单位向量，满足设，，向量，的夹角为，则的最小值是 ．
13.已知为内一点，若，则称点为的“布洛卡点”.若为等腰的“布洛卡点”，且为钝角，的外接圆的面积为，则 ， .
四、解答题(本大题共5小题，共77分)
14.（13分）如图，在平行四边形中，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
15. （15分）已知向量，若与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？
16. （15分）在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长.
17. （15分）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，且的周长为，求边上的高.
18. （17分）如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.
（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1 km）；
（2）求线段的长度（长度单位精确到0.1 km）（）.
19. （17分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，D为BC中点，求线段AD长；
（3）若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值．
高一数学试题答案
1.B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.BCD 10.BCD 11.
12.
13.；
14.解：（1）.
在平行四边形中，，，
故.
对比，得，，
则.
（2），则.
展开得.
代入，，，
得.
15.解：（1）已知，则；，则.
又.
所以.
那么.
（2）因为向量与向量互相垂直，
所以，
即，
将，，代入上式解得.
16.解：（1）由，
根据余弦定理，得到，
即.
根据正弦定理，有，所以.
因为，两边同时除以得，.
由于，所以.
（2）已知外接圆半径，，
由正弦定理，可得.
因为，，
则，解得.
根据余弦定理，，，
则.
把代入得，
即，所以.
所以的周长为.
17.解：(1)由，可得，所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
(2)由，且的周长为，可得，
又由(1)可知，，即，所以，
联立方程组，解得，
所以，
则，
所以边上的高为.
18.解：（1）在中，，，，
由余弦定理，
得，
即，
解得，
故线段长度约为，
（2）在中，，
所以，
所以，
在中，，
所以，
，
．
又，
在中由正弦定理得，
解得，
，
故线段长度约为.
19.解：（1）由，得.
即，整理为.
根据余弦定理，将代入，得.
因为，所以.
（2）因为是中点，所以.
已知，，即，.
.
.
则，
所以，即.
（3）因为面积，，，
所以.即，解得.
因为是角平分线，所以.
，，.
所以，整理得，即.
由基本不等式（当且仅当时取等号）.
所以，即最大值为.

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