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一元二次方程根与系数关系专练
一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知方程的两个解分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数，满足，，那么以，为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·河北邯郸·一模）若是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．11 B．10 C． D．0
6．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（ ）
A． B．3 C．1 D．
二、填空题
8．（2026·江苏无锡·二模）若，是一元二次方程的两根，则________．
9．（25-26九年级下·湖南长沙·月考）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
10．（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____．
11．（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则________．
12．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______．
13．（25-26八年级下·浙江·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________．
14．（25-26九年级下·福建福州·期中）若一元二次方程的两根为，，则的值为__________．
三、解答题
15．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）已知关于的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值．
16．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）已知关于的一元二次方程，
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值．
17．（25-26九年级下·四川南充·月考）已知关于x的一元二次方程满足．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若一元二次方程的两实根为、，且，求m的值．
18．（25-26九年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)若为整数，求整数m的值．
19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若，求m的值．
(3)求的最小值．
20．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值．
(1)；
(2)．
21．（25-26九年级下·四川南充·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求的值．
22．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是0，求的值；
(2)若该方程有两个实数根，求的取值范围；
(3)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值．
23．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围．
(2)若，求的值．
(3)若 ，求的值．
24．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值．
25．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学习了《第2章 一元二次方程》后，小明与进行了一次交流：
小明问：请问，若碰到关于的一元二次方程中，除了变量x还含有其他字母的问题，应该如何思考？
(深度思考)：先看二次项系数是不是零(决定它是一元一次还是一元二次方程)，再根据题目要求的根的情况(比如有根的条件，有几个根，正负等)，利用一元二次方程的知识列出关于字母的不等式或方程，解字母的值并检查答案是否合理．
根据对话，解答下列问题：
已知关于的方程的两根为，．
(1)当时，求，的值；
(2)求证：不存在实数，使；
(3)若的值为整数，求实数的值．
试卷第4页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C A A A A B
1．D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求代数式计算即可得到结果．
【详解】解：设方程 的两个解为 ，，其中 ，，，
，，
．
2．C
【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的根，
∴将代入方程得，
解得，
关于的一元二次方程为，
∴两根之积为．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果.
【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中，
∴由根与系数的关系可得
，，
对所求式子因式分解得
将，代入得
原式．
4．A
【分析】设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数），由根与系数的关系求出b、c的值即可得到答案．
【详解】解：设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数），
由根与系数的关系可得，，
∴，
∴以，为根的一元二次方程是．
5．A
【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到的值，最后代入代数式化简求值．
【详解】解：是方程的实数根，
，
，
是方程的两个实数根，
，
∴
．
6．A
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系求出的可能取值，再根据方程有两个实数根的要求，通过判别式检验舍去不符合的解，得到最终结果．
【详解】解：将原方程整理为一般形式，
对于一元二次方程，可得，
∵ 一元二次方程两根之和满足，且已知，
∴，
解得或，
∵方程有两个实数根，
∴ 判别式，
代入得，
当时，，符合要求，
当时，，不存在两个实数根，舍去，
∴．
7．B
【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可．
【详解】解：实数，满足， ，且，
整理第二个等式得，
和是一元二次方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，
．
8．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可直接求出两根之和．对于一元二次方程，两根之和满足．
【详解】，是一元二次方程的两根，
．
9．
13
【分析】对于一元二次方程，若两个实数根为，则满足，.利用该关系得到与的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得：，，
∴．
10．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴
．
11．-2025
【分析】用韦达定理，得出和的值，再将式子变形为，再代入韦达定理得到的数值进行计算．
【详解】∵，其中，
∴ ，，
∴．
12．9
【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：根据根与系数的关系可得：，，
∴
．
13．2026
【分析】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值．
【详解】解：根据题意，得，，
，
．
14．2026
【分析】首先，根据一元二次方程根的定义，将代入方程，得到关于的等式，再对所求式子进行变形，然后利用根与系数的关系求出的值，最后代入计算即可.
【详解】∵是方程的根，
∴将代入方程可得： ，
移项得： ，
变形得： ，
对于一元二次方程，
由根与系数的关系可得： ，
将 代入 ，得：
∴
15．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，整理得，再求出判别式的值，即可作答．
（2）运用根与系数的关系得，，又结合进行列式计算，得出，最后根据得出符合题意，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
则，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴
∵此方程的两个根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
解得，
当时，，，符合，
当时，，，不符合，故舍去
∴．
16．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，
∴，，
∴，
整理，得，
解得或；
∵是一个矩形的两边长，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)m的值为1或
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，解答即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，，再由，可得，解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：原方程变形为，
∴，．
∵，
∴．
∴．
整理得．
解得：，．
经检验，是该分式方程的根．
∴m的值为1或．
18．(1)
(2)整数m的值为或．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式大于零，由此即可求解；
（2）根据根与系数的关系可知，将整理得，根据题意得到整数m的值为或．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
，
解得，
∴的取值范围为；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
，
∵为整数，
∴或，
∵，
∴整数m的值为或．
19．(1)
(2)
(3)
最小值为
【分析】（1），因为方程有两个实数根，所以需利用一元二次方程根的判别式，代入方程系数建立关于的不等式，解不等式得到的取值范围．
（2）先将展开变形，再利用韦达定理、代入变形后的式子，得到关于的方程，结合（1）中的取值范围确定的值．
（3）先利用完全平方公式将变形为，再代入韦达定理的表达式，得到关于的二次函数，结合（1）中的取值范围，利用二次函数的性质求最小值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
解得；
（2）根据根与系数的关系得：，。
∵ ，
∴，即，
解得或，
结合，舍去，得；
（3）对式子变形，得 ，
这是开口向上的二次函数，对称轴为直线，
结合，函数在上随增大而增大，
因此最小值在处取得， 代入得，
即的最小值为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据根与系数的关系及完全平方公式将代数式变形后代入求解即可
（2）根据根与系数的关系，将代数式通分后代入求解即可.
【详解】（1）解：∵是一元二次方程 的两个根，
∴，
∴；
（2）解：∵是一元二次方程 的两个根，
∴，
∴.
21．(1)
见解析
(2)
【分析】（1）利用判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系，根据推出，据此可得答案．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（）把代入方程，然后解一元二次方程即可；
（）由题意得，然后解不等式即可；
（）由题意可得，，然后代入方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
；
（2）该方程有两个实数根，
，
；
（3）的两个实数根为，
，
，
，
即，
解得，
，
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解；
（）由一元二次方程根和系数的关系可得，，进而由可得，，再代入计算即可求解；
（）利用因式分解由已知可得 或 ，又由一元二次方程根的定义及根和系数的关系可得 ，即得到 或，再分情况解答即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程根和系数的关系，一元二次方程根的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴ ，
解得；
（2）解：∵一元二次方程有两个实数根和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵是方程的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴ 或，
当 时，解得，
∵，不符合，
∴不合题意，舍去；
当时，解得，
∵，符合，
∴符合题意；
综上，的值为．
24．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和性质．
（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）利用根与系数的关系列出一元二次方程，然后进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵、是原方程的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
25．(1)，
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）代入，得，因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得， ；得出解得，根据，结合一元二次方程的定义，，得出矛盾．
（3）根据代数式值为整数，且，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
∴
解得：，
（2）解：根据题意得，
∵

解得
又∵，
解得:
∵
∴
∴不存在实数满足要求．
（3）解：，
该式的值为整数，
∴
解得：
由（2）可得，
或或

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