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北京平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一）数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是．
A. B.
C. D.
3.一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
4.一个盒子中有个红球、个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的分之一，已知，则约为( )
A. B. C. D.
7.如图，中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点给出下面四个结论：
；
四边形的面积为；
当点的坐标为时，线段的长度最大；
当点的坐标为时，线段的长度最大．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值 ．
13.如图，内接于，，若，则的长为 ．
14.每年的月日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为组，得到如下的频数分布表：
分组
人数频数
该校八年级共有名学生．根据上表数据，请估计这名八年级学生的视力在范围内的人数为 ；
15.如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接若，则的长为 ．
16.根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示：
运动能力 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数
篮球 健身长拳 立定跳远
足球 游泳 实心球
排球
表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有 人．
三、解答题：本题共12小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.计算：
18.解不等式组：
19.已知，求代数式的值．
20.如图，平行四边形，是延长线上一点，，且．
求证：四边形是菱形；
连接交于，若，，求和的长．
21.榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫图是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积．
22.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
求的值；
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
23.如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若．
求证：为中点
连接交于点，若，，求的值．
24.为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表
表
时间
分值
时间
分值
时间
分值
表
时间
路程
路程
在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为单位：时，甲同学跑步的路程为单位：，乙同学跑步的路程为单位：为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表所示：
的值为 ．
请根据表中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象．
结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论：
当时，甲同学一直在乙同学的前面；
乙同学完成米的测试时间超过；
两名同学在匀速跑步阶段速度相同．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到 分．
25.北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力各项测试综合成绩满分为分，成绩均为整数教练组对这四名同学最近次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
甲、乙两名同学次测试成绩的折线图如下：
丙同学次测试成绩：，，，，，，，，，；
丁同学在次测试中，出现次数最多的分数是分；四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
根据以上信息，回答下列问题：
表中的值为 ，的值为 ；
表中 填“”“”或“”
大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮：
第一轮平均水平初筛：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮；
第二轮极度稳定复筛：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单．
第三轮核心战力比拼：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数”组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员．
你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是 同学，该同学的分是 分．
26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
用含的式子表示；
点在抛物线上，且过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围．
27.在中，，点是边上一点不与重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
如图，，求的度数；
如图，，，过点作，交的延长线于，连接点是的中点，点是的中点，连接用等式表示线段与的数量关系并证明；
28.如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”．
在平面直角坐标系中，的半径为，以下各点属于“弦心衍生点”的有 ；
平面直角坐标系中，若的半径为，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是 ；
在的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为 ．
参考答案
1.
2.
3.
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8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
16.

17.解：原式
．

18.解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．

19.解：原式，
，
，
代入得，原式．

20.【小题】
证明：平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
【小题】
解：如图，过点作于点，
，
，
由可知，四边形是菱形，
，，，，，，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
．

21.解：设榫头长为，
榫身长榫头长，
榫身长为，
榫身长与榫头长之和为，
，
解得，
榫头长为，则榫身长为，
榫头长榫头宽，
榫头宽为，
榫身宽榫头宽，
榫身宽为，
此面的表面积为：．

22.【小题】
解：函数与的图象交于点，
，解得；
【小题】
解：，
两个一次函数的解析式分别为，，
要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可，
结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意，
的取值范围为．

23.【小题】
证明：如图，连接，
为直径，是的切线，
，
，，
，
，
，
，
，即为中点．
【小题】
解：如图，连接，
为直径，
，
由可知，，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，即，
，
在中，，
，
解得，
，，
为直径，是的切线，
，
，
，
，
，即，
．

24.【小题】
【小题】
解：的图象如下；
【小题】
【小题】

25.【小题】
【小题】
【小题】
甲

26.【小题】
解：抛物线过点和点，
点、关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为，
，则；
【小题】
解：由得，
点在抛物线上，且，，
，则，
由题意，，，
，
解方程得，，
的长随着的增大而增大，
或
解得：无解或，
故满足条件的的取值范围为．

27.【小题】
解：，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
；
【小题】
解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，，
，
，，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
点分别为的中点，，
，
，
又，
，
，
，即，
，
．

28.【小题】
【小题】
或
【小题】

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