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北京燕山教育集团2025一2026学年第二学期九年级期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，点，，在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为( )
A. B. C. D.
3.有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.南水北调东中线一期工程已经成为优化水资源配置、保障群众饮水安全、复苏河湖生态环境、畅通南北经济循环的生命线，累计调水突破亿立方米，直接受益人口达到，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
6.将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在直角三角形中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接若，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在，轴正半轴上，点坐标为点是边上的动点不与，重合，函数的图象经过点且与边交于点，给出下面四个结论：与的面积一定相等；若点是边的中点，则点一定为的中点；在点的运动过程中，是一个定值；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.国家卫生健康委员会将年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项，将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图．
这次抽样调查中，选择羽毛球人数是，样本中个体的数目是 个，若该校有名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有 人．
13.对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组，的值，则 ， ．
14.如图，是地球的示意图，其中表示赤道，点表示北京位置，分别表示北纬纬线和南纬纬线，某一时刻，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为
15.把图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图，图所示的正方形，则图中菱形的面积为 ．
16.某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：回收餐具与剩菜、清洁桌面；清洁椅面与地面；摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤时间分钟桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
大桌
小桌
两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟．
若三名餐厅工作人员分别负责回收餐具与剩菜、清洁桌面，清洁椅面与地面，摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
三、计算题：本大题共2小题，共4分。
17.计算：．
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共10小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知，求代数式的值．
20.本小题分
如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，，求的长度．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
求该函数的表达式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围．
22.本小题分
羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线球网同侧间的距离与单、双打边线中线同侧间的距离之比是根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．
23.本小题分
百度推出了“文心一言”聊天机器人以下简称甲款，抖音推出了“豆包”聊天机器人以下简称乙款有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：
下面给出了部分信息：
甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
上述图表中 ， ；
计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角；
在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数：
简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率．
24.本小题分
如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，是的直径，连接并延长交直线于点．
求证：；
延长交的延长线于点若的半径为，，求的长．
25.本小题分
沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量单位：与时间单位：之间的关系，部分数据如下：
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间单位：与孔径单位：之间的关系，部分数据如下：
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：
在探究一中，时漏下沙子的质量约为 结果保留小数点后一位；
推断：探究一中所用沙漏的孔径为 ；
通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系．
在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____结果保留小数点后一位．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
已知和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
27.本小题分
如图，将正方形的边绕点顺时针方向旋转得到，连接，作于，连接，交于点，连接．
依题意补全图形；
求；
用等式表示，的数量关系，并证明．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和外的一点，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点为弦的“垂联点”．
已知点，，．
如图，在点，，中，弦的“垂联点”是____；
如图，若点为弦的“垂联点”，直接写出的长；
已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得点为弦的“垂联点”，设的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
11.
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13.

14.
15.
16.【小题】
【小题】

17.解：原式
．

18.解：
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．

19.解：，
，
．

20.【小题】
证明：四边形是平行四边形
，．
，
，
即：．
点、在直线上
，．
四边形是平行四边形
又，垂足是，
．
四边形是矩形
【小题】
解：四边形是矩形，
，．
，，
．
，
．

在中，．
，

在中，．
．
点是平行四边形对角线的交点，
为中点
在中，为中点．
．

21.【小题】
【详解】解：函数的图象经过点和，
将点和代入中，
，解得：
该函数的表达式为：，
与过点且平行于轴的直线交于点，
将代入中，得，
；
【小题】
解：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，
，
通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，，
当的函数值大于函数的值将代入中，，
的取值范围为：．

22.解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，
由题意可得．
解得．
．
答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是．

23.【小题】

【小题】
解：根据可知，乙款组人数为人，则组人数为人，
则其对应圆心角：．
答：．
【小题】
解：乙款组人数为人，
组人数占比为，
组人数占比为，
组人数为人，
在乙款调查用户中，非常满意的人数为人，
在甲组用户中，非常满意的人数为人，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
【小题】
解：画树状图列出所有可能的结果为：
共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为种，
故两人中至少有一人选择的概率为．
答：．

24.【小题】
证明：连接，如图．
，是的切线，，是的半径，
，，
，．
，
，
，
．
又，
．
【小题】
解：连接，，如图．
在中，，
设，则，．
在中，，即解得．
，．
是的直径，
．
，，
．
，
．

25.【小题】
答案不唯一
【小题】
【小题】
解：描点坐标：，，，，，并绘制函数的图象如下图，
观察所得函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，即当时，对应的孔径的值约等于答案不唯一

26.【小题】
解：当时，抛物线，
抛物线的对称轴为，
抛物线的顶点坐标为；
【小题】
解：抛物线的对称轴为，
分两种情况讨论，
当时，函数图象如图所示，
抛物线的对称轴为，
，
点在对称轴的右侧，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，
点在对称轴右侧，
对于，都有，
，
解得，
当时，函数图象如图所示，
抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
点关于对称轴的对称点为，
对于，都有，
，且，
，，
解得，
综上所述，的取值范围是或．

27.【小题】
解：由题意，补全图形如图：
【小题】
正方形，
，
旋转，
，，
，，
，
；
【小题】
，证明如下：
连接，作，交的延长线于点，则：
由可知：，，，
，
垂直平分，
，
，
，
正方形，
，，
，，
，
，
又，，
，
，
为等腰直角三角形，，
，，
．

28.【小题】
解：点，，，
，，，
，
，
又，是的半径，
是的切线，
即点是弦的“垂联点”；
点，，，
，，，
与不垂直，即点不是弦的“垂联点”；
点，，，
，，
，
，是的半径，
是的切线，
，，
，
，
即点是弦的“垂联点”；
点，，点为弦的“垂联点”，
设点，分两种情况讨论：
第一种情况，当是的切线，，
，，
，
，
，
，
第二种情况，当是的切线，，
，，
解得
，
，
综上所述，线段的长为；
【小题】
解：线段上一点，存在的弦，使得点为弦的“垂联点”，随着的变动在一定范围内变动，且点，，
如图所示，在线段上取一点，作直径，连接、，
的长为，
只考虑是的切线，一种情况即可，
，
，
，
，
随着的增大而增大，随着的减小而减小，
，
随着的增大而增大，随着的减小而减小，
，
随着的增大而增大，随着的减小而减小，
即求出最大值和最小值作为临界点；
当点在点时，取最大值，即最大，
则是的切线，，如图所示，作直径，连接，
，，，，，
，
，是的切线，
，
，
，，是直径，
点、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
当点在经过点的的垂线上时，即点，取最小值，即最小，
如图所示，作直径，连接，
同理可得，点、、三点共线，，
，点，，
，，
，
，，
，
，
，
则的取值范围为．

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