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江苏无锡市锡山区锡东片2025－2026学年春学期学科素养调研
九年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，绝对值最大的是( )
A. B. C. D.
2.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知一组数据：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是．
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6.如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积接缝忽略不计是( )
A. B. C. D.
7.如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接若，的最小值为，则长为( )
A. B. C. D.
9.如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，记为线段的长度，下列结论：
若点与点关于轴对称，则；
若，则点与点关于轴对称；
若动点满足，则点的运动路径所围成的图形面积为；
若，则．
其中正确的为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共18分。
11.年春节假期，江苏文旅消费迎来“开门红”经综合测算，全省春节期间共接待游客约万人次，实现旅游总花费亿元．将“”用科学记数法表示为 ．
12.分解因式 ．
13.计算： ．
14.请写出一个函数的表达式，使其图像分别与轴的负半轴、轴的负半轴相交： ．
15.如图，点均在上，若，则的度数为 ．
16.小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程单位：与时间单位：的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是 ．
17.如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则 ．
18.如图，等边边长为，为上一动点不与、重合，过作，垂足为，为线段上一点，且，过作交于设，．
当时， ；
在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算、解方程：
；
．
20.化简、解不等式组：
四、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．
求证：；
若，且平分，求的度数．
22.本小题分
炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了防溺水“六不两会”安全知识竞赛，将成绩划分为四个等级合格，良好，优秀，非常优秀，随机抽查了部分竞赛成绩的数据进行了整理，并绘制成如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
填空： ， ；
请你补全条形统计图；
求“优秀”对应扇形的圆心角度数；
若全校有名学生参加活动，请你估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有多少人？
23.本小题分
在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片张，黄色卡片张，蓝色卡片张．
从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；
第一次随机抽取一张卡片不放回，第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
24.本小题分
如图，已知内接于，且是的直径．
实践与操作：尺规作图：作出的内心；不写作法，保留作图痕迹
推理与计算：连接并延长，与交于另一点若，，则的长为 ，的长为 ．
25.本小题分
如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的面积．
26.本小题分
【综合与实践】
在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深如图，小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得．
【问题初探】图中，，分别为入射角、折射角，则 ；
【深入探究】
小组成员探究如何才能使折射光线经过点．
小刚同学设计了如图所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点请直接写出下降高度为________；
小张同学设计了如图所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，求增加的水面高度；
【问题拓展】
小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点请求出与之间的函数关系．
27.本小题分
如图，在四边形纸片中，，，，，．
求的长；
若为边上一动点点不与点，重合，过点作直线，沿直线折叠该纸片，设，折叠后纸片重叠部分的面积为，求关于的函数表达式．
28.本小题分
已知二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．
直接写出这个二次函数的解析式；
如图，连接，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点，为轴上方的抛物线上两点点在点的右边，直线、与轴分别交于，两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15. 度
16.
17.
18.【小题】

【小题】

19.【小题】
解：
；
【小题】
解：，
，
或，
，．

20.【小题】
解：原式
；
【小题】
解：
解不等式得，
解不等式得，
所以原不等式组的解集为．

21.【小题】
证明：在和中
；
【小题】
解：，
，
，
，
平分，
，
．

22.【小题】
【小题】
解：根据题意可得：
“优秀”的人数为人，
补全统计图如下：
；
【小题】
解：根据题意可得：
“优秀”对应扇形的圆心角度数为；
【小题】
解：人，
答：估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有大约人．

23.【小题】
解：共有个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；
故答案为：．
【小题】
解：画树状图如图，
红 红 黄 蓝
红 红，红 红，黄 红，蓝
红 红，红 红，黄 红，蓝
黄 黄，红 黄，红 黄，蓝
蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，黄
共有种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有种，
两次抽到的都是红色卡片．

24.【小题】
解：如图，点为所求，
【小题】


25.【小题】
证明：连接．
，
．
，，
．
是的高，
．
．
．
，即，
又是的半径，
是的切线；
【小题】
解：由题意知：，，
设，则，
由知，
在中，，
即，
解得．
．
的面积．

26.【小题】
【小题】
解：过点作，垂足为，如图
则，，，
由题意，得，．
，
，
设为，则，
，
解得，
；
过点作，垂足为，如图
则：，，
设，则，，
，
由知：，，
，，
，
，解得，
答：为；
【小题】
解：如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点，
由题意得：，，，，
则：，
，
，
，
，
解得．

27.【小题】
解：过点作于点，
，，
，，
，，，
四边形为矩形，
；
【小题】
解：由得，设直线与的交点为，点，点关于直线的对称点分别为，，
当点与点重合时，
直线，，，
，，
，，
，
当时，重叠部分面积为，
此时，，
重叠部分面积为；
连接，
，，
，
，
当点与点重合时，由折叠的性质得，，
直线，，
为等边三角形，
，
当时，重叠部分面积为，交于点，延长交于点，则，
此时，，，，
由折叠性质得，，
直线，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
重叠部分面积为；
当时，即点在四边形外部时，作于点，重叠部分面积为，
此时，，
，
同理得为等边三角形，则
，
，
；
综上，当时，；当时，；当时，．

28.【小题】
解：二次函数的图象与轴交于点，两点，
解得
这个二次函数的解析式为；
【小题】
解：如图，当点在射线上时，连接，交于，
令，则，
，
设直线的解析式为，
将代入得，解得，
直线的解析式为，
点和点关于对称，
，
设，
由得，，
，舍去．
．
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
由上可知：，同理可得：；
综上所述：点的坐标为或；
【小题】
解：直线经过定点理由如下：
设，，
设直线的解析式为，
则
解得：
直线的解析式为，
同理可得：直线的解析式为，
直线的解析式为，
令，则，，
，，
，
，
．
代入直线的解析式得，
当时，．
直线经过定点．

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