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高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 ,则集合
A. B.
C. D.
2. 复数 的实部与虚部之和为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知函数 的极值点为 0，则
A. 0 B. C. D.
4. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点, 上的一点 满足 ,则 的离心率为
A. 3
B.
C. 2
D.
5. 若 ,则
A. B. C. D.
6. 从三棱台的 9 条棱中选 2 条, 则这 2 条棱不平行的选法种数为
A. 32 B. 33 C. 34 D. 36
7. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 的公比为
A. 3 或 B. 3 或 C. 或 D. 或
8. 彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样. 某彩凤穿花纹碗如图 1 所示, 其轴截面 (不含碗的底座)如图 2 所示，已知该碗的底座高为 1 cm，曲线 ， 均是焦点到准线的距离为 5 cm 的抛物线的一部分，则该碗的高度为
图 1
图 2
B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
一商品零售额 - 一餐饮收入
9. 如图, 这是全国 2025 年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图,则全国 2025 年下半年
A. 商品零售额同比增长速度的极差为
B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低
C. 餐饮收入同比增长速度的 30% 分位数为 1.1%
D. 餐饮收入同比增长速度的平均数小于 2%
10. 已知函数 , ,则下列结论正确的是
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上的值域为
D. 若 的图象与 的图象在 上有公共点,则 的取值范围为
11. 若首项为 的数列 满足 ,则
A.
B. 是等差数列
C. 不存在 ,使得 是递增数列
D. 在 确定的情况下,点 在一条直线上
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _____▲_____.
13. 已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则 _____▲_____.
14. 已知棱长为 4 的正四面体 的各顶点均在球 的球面上， 为 的中点,动点 在球 的球面上运动,且 ,则 的轨迹长度为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ，且 为钝角， 的面积为 .
(1)求A；
(2)若 的周长为 ，求 .
16.(15分)
如图，在四棱锥 中， ， ，底面 是正方形， ， 分别为 的中点. 过点 的直线 与 平行,且 .
(1)证明: 底面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(15 分)
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线 与直线 垂直,求 的方程；
(2)讨论 的单调性.
18.(17分)
已知椭圆 经过点 ，且 的长轴长与短轴长之比为 .
(1)求 的方程.
(2)已知点 ，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ， 分别为 的中点，且 .
(i)若 与 重合，求 .
(ii)判断直线 是否过定点. 若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
19. (17 分)
某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有 种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具.
(1)若 ，求甲恰好购买 3 件玩具就集齐 2 种不同类型的卡片的概率.
(2)在 重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生的概率为 ，用 表示事件 首次发生时的试验次数,且 的分布列为 , ,则随机变量 服从几何分布,该几何分布的期望为 . 已知甲集齐 种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为 .
(i) 求 的数学期望 ;
(ii) 证明: .
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 D A C D D B A C BC ACD ABD 6
15.解:(1)由正弦定理得 . 2 分
由 的面积 ,得 . 4 分
因为 为钝角，所以 . 6 分
(2)由余弦定理 ，得 . 10 分又 ,所以 . 13 分
16.(1)证明:因为 ,所以 . 2 分
因为 底面 底面 , 4 分所以 底面 . 6 分
(2)解:以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , ,得 . 8 分设平面 的法向量为 ,则
10 分
令 ,则 ,得 . 12 分
易得平面 的一个法向量为 , 13 分所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17.的数学思想. 解: (1) ， 1 分
则 , 2 分
因为 , 3 分
所以 ,得 . 4 分
又 , 5 分
所以 的方程为 ,即 . 7 分
(2) .
当 时, ,则 在 上单调递增. 9 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 11 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 12 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 13 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 15 分
18.解: (1) 设 ,则 ,则 的方程为 . 1 分
因为 经过点 ，所以 ，得 . 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(1)设 ，由 4 分
得 , 5 分
得 , 6 分
则 . 7 分
故 . 8 分
(ii) 直线 . 由 ,得 . 9 分由 得 , 10 分则 11 分
因为 ,所以 的坐标为 . 12 分
同理可得 的坐标为 . 13 分
又
15 分
所以直线 的方程为 16 分
因为 ,所以直线 过定点 . 17 分
19.(1)解:甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买 3 件玩具就集齐 2 种不同类型的卡片的概率为 . 3 分
(2)(i)解:设 表示在甲已获得第 种类型的卡后,获得第 种类型卡片需要购买的玩具数,则 . 4 分甲第一次购买玩具得到第 1 种类型的卡片的概率为 1 ,
在甲已获得第 1 种类型的卡片后,每次试验中获得第 2 种类型卡片的概率为 , 在甲已获得第 2 种类型的卡片后,每次试验中获得第 3 种类型卡片的概率为 ,
依此类推,在甲已获得第 种类型的卡片后,每次试验中获得第 种类型卡片的概率为 ,则 均服从几何分布, 6 分
所以 . 8 分 (ii) 证明: 9 分
设 ,则 .
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减，所以 ，得 ，当且仅当 时，等号成立. 10 分令 ,得 ,则 . ① 12 分
设 ,则 .
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 ,得 ,当且仅当 时,等号成立. 14 分令 ,得 ,则 . ② 16 分
由①②得 ,
所以 ,即 . ...
17 分

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